Maurizio Codogno, Matematica in pausa caffè, 2014

di cercare il logaritmo di un numero che iniziava

mai avuto la necessità di usare le tavole: per

per trovare il logaritmo di 42, di 42.000 e di 0,0042 si

trovare il logaritmo di 42, di 42.000 e di 0,0042 si cerca

logaritmo di 42, di 42.000 e di 0,0042 si cerca lo stesso

dimenticatoio. Ci volle più di mezzo secolo prima che

e poteva presumibilmente permettersi di fare questo tipo di

di fare questo tipo di ricerche; cominciò a raccogliere

raccogliere una grande mole di dati di tutti i

grande mole di dati di tutti i tipi e

dopo aver radunato più di 20.000 valori di ogni sorta

radunato più di 20.000 valori di ogni sorta, presentò i

distribuzione sulla prima cifra di un insieme di numeri

cifra di un insieme di numeri «generati casualmente in

contesto reale»: la legge di Benford era nata. ¶ La

limito a mostrare qui di seguito un grafico a

alle varie cifre iniziali di un numero, che poi

con un numero sufficiente di dati ordinati e osservatene

è solo una cosa di cui tenere conto: i

spaziare su vari ordini di grandezza e non devono

non va bene: penso di poter scommettere che più

più del 95 per cento di loro sarà alto tra

e 199 centimetri. Il numero di teste ottenuto lanciando una

con 4 o 5. Il numero di abitanti dei comuni italiani

per cui la legge di Benford è valida. ¶ Probabilità

iniziali secondo la legge di Benford. ¶ Ma insomma, la

per un certo insieme di dati dev’essere quella

è la cosiddetta invarianza di scala. Supponiamo che le

che le prime cifre di un insieme di dati

cifre di un insieme di dati misurati in chilogrammi

per 1; pertanto la probabilità di iniziare con 1 deve essere

alla somma delle probabilità di iniziare con 5, 6, 7, 8 o 9, che

affermare senza alcuna ombra di sciovinismo. In genere lo

a capo dello squadrone di ricercatori che hanno dimostrato

suo nome. ¶ Il paradosso di Fermi deriva da una

su un presunto avvistamento di UFO ed egli commentò

universo esiste da miliardi di anni, è molto strano

nessun segno anche involontario di attività extraterrestre, per esempio

tante risposte al paradosso di Fermi, ma andremmo fuori

almeno da un punto di vista matematico, sono i

sono i cosiddetti problemi di Fermi. Anch’essi nascono

primo test nucleare misurando di quanto l’onda d

avesse spostato dei pezzettini di carta che aveva lanciato

L’esempio più noto di problema di Fermi consiste

più noto di problema di Fermi consiste nello stimare

nello stimare il numero di accordatori di pianoforti nell

il numero di accordatori di pianoforti nell’area urbana

pianoforti nell’area urbana di Chicago. La cosa può

autunno 1973 l’università californiana di Berkeley fu citata in

le donne nelle domande di ammissione presentate. I dati

differenza rispetto alla parità di trattamento, questa era in

dipartimenti non mostravano traccia di discriminazione, e anzi la

peggiore. Nel 2009 il tasso di disoccupazione statunitense salì al

la recessione fosse peggiore di quella degli anni ottanta

degli anni ottanta, concludendo di no perché a fine

Osservando però il tasso di disoccupazione suddiviso per categorie

scopriva che per ciascuna di queste categorie il tasso

queste categorie il tasso di disoccupazione era maggiore di

di disoccupazione era maggiore di quello di 27 anni prima

era maggiore di quello di 27 anni prima. ¶ Le iscrizioni

Berkeley e i tassi di disoccupazione sono solo i

i casi più eclatanti di una situazione che si

che si verifica piuttosto di frequente, nota come paradosso

frequente, nota come paradosso di Simpson: non Homer, ma

nel 1951, con mezzo secolo di ritardo rispetto ai primi

spiegarlo! Tornando al caso di Berkeley, si potrebbe immaginare

avuto molte più richieste di ammissione da uomini che

bravo? ¶ In una gara di abilità, Bart e Lisa

secondo giorno le percentuali di successo migliorano parecchio: Bart

la percentuale più alta di riparazioni. Sarà dunque lui

su 10, Lisa 5. Il paradosso di Simpson – o qui forse

dire dei Simpson – spunta di nuovo: la migliore riparatrice

sono effettivamente in favore di Bart, tuttavia usare le

guardiamo il numero assoluto di computer riparati, Lisa ha

migliore, che le permette di recuperare il divario – quello

tendevano a fare domanda di iscrizione ai dipartimenti umanistici

l’aumento del livello di istruzione tra il 1982 e

è “dipende”. Nell’esempio di Lisa e Bart, sicuramente

un’opinione! ¶ La legge di Benford ¶ Avete creato un

che generare un migliaio di fatture fittizie, con cifre

letto sul supplemento scientifico di una qualche rivista che

non siamo in grado di creare numeri davvero casuali

intervallo. Tutto a prova di bomba, insomma? Forse in

Stati Uniti un tentativo di frode di questo tipo

un tentativo di frode di questo tipo fu scoperto

state sette volte più di quelle che iniziano con

tutto questo? La legge di Benford. Il nome legge

ma ha il valore di semplice linea guida. In

tratta più che altro di uno scherzo tra addetti

se ha il nome di Benford, allora è praticamente

Newcomb doveva fare barcate di calcoli numerici e dunque

parlato?). In un momento di inattività si accorse di

di inattività si accorse di qualcosa di strano: i

si accorse di qualcosa di strano: i bordi delle

usava erano più sporchi di quelli delle ultime pagine

gli capitasse più spesso di cercare il logaritmo di

bergamasco. Ammettere un tasso di errore dello 0,01 per cento

evoluti sotto la spinta di pressioni che non richiedevano

pressioni che non richiedevano di calcolare probabilità a posteriori

non stavi a cercare di calcolare se avesse appena

trova in una situazione di quel tipo e metterci

con cura. Un’anguria di 10 chili buccia esclusa, è

Nove chili e mezzo? Di più? Provate a fare

non possano comunicare tra di loro, e sono invitati

Alice contenga un assegno di a euro; a questo

probabilità del 50 per cento di aver preso la busta

ho la stessa probabilità di aver preso la busta

ha trovato un assegno di b euro, farà esattamente

Il modo più semplice di disinnescare questo paradosso è

abbiano sì una coppia di valori scelti a caso

che tanto il doppio di zero è sempre zero

qualcuno trovasse un assegno di 42,85 euro potrebbe immaginare che

immaginare che sia quello di valore minore perché non

e commenterebbe che quello di arrotondare la cifra è

con un numero pari di centesimi, ovviamente a vostra

non ho nessuna voglia di fare i conti – se

una busta contiene meno di 2n euro e chiedere

n euro e chiedere di cambiarla oppure più di

di cambiarla oppure più di N/2 euro e tenercela

elargibile? No, perché metà di infinito è sempre infinito

da quando essere certi di avere l’assegno più

paradosso? Boh. Il ragionamento di Carlo e Alice indicato

che tutti i valori di denaro abbiano la stessa

abbiano la stessa probabilità di essere scritti nelle buste

essere applicato nel caso di una somma potenzialmente illimitata

è un numero infinito di casi equiprobabili la loro

conti tornano? ¶ Il gioco di Penney ¶ Fare una partita

amico. Lanciando tre volte di fila una moneta, si

scrivere la corrispondente successione di T e C; vince

TCC ¶ 75% ¶ CCC ¶ TCC ¶ 87,5% ¶ Probabilità di vittoria nel gioco di

di vittoria nel gioco di Penney. ¶ È abbastanza evidente

non capitasse questo colpo di fortuna? Proviamo a immaginare

vi darà una probabilità di vittoria maggiore del 50 per

insomma una combinazione migliore di tutte. Nella figura nella

che non sono migliori di nessuna, non esiste nessuna

in questo caso parlano di “relazioni d’ordine non

se A è maggiore di B e B è

e B è maggiore di C allora A sarà

allora A sarà maggiore di C, ma come abbiamo

voi conoscete un esempio di un gioco simile: sasso

monete si chiama gioco di Penney e prende il

nel 1969 scrisse un articolo di ben 10 righe al riguardo

probabili) vittorie! ¶ Il paradosso di Simpson ¶ Non crederete davvero

tirato fuori il concetto di affirmative action, il cui

hanno rapporti costanti; invece di dividere si sottrae. ¶ Un

è in un rapporto di 1 a 10 è pari a

modo che la differenza di un grado equivalga a

circa 31,6, la radice quadrata di 1000. Insomma, saper trattare i

giornalisti spesso piace parlare di crescita esponenziale, soprattutto quando

crimini; non i posti di lavoro ma i balzelli

catenaria, è la composizione di due curve esponenziali? – ma

sempre la stessa. Immaginate di andare alla velocità costante

andare alla velocità costante di 50 chilometri l’ora: in

ci sono altri tipi di crescita. Se a crescere

Essa è sicuramente maggiore di una crescita lineare, anche

crescita esponenziale è invece di tutt’altro tipo. Il

E non si tratta di una piccola differenza! C

suppone che una coltura di amebe raddoppi in numero

e riempia il vetrino di coltura in 10 giorni. Se

da un altro punto di vista, la coltura ci

altro esempio, stavolta letterario, di crescita esponenziale è dato

è dato dal libro di Raymond Queneau Cent mille

striscioline orizzontali: su ognuna di esse si trova 1 verso

esse si trova 1 verso di un sonetto, costruito in

per un bel po’ di tempo la crescita esponenziale

cioè se il rapporto di cui parlavo sopra è

parlavo sopra è maggiore di 1. Altrimenti è più corretto

è più corretto parlare di decadimento: ma quella è

tema). ¶ Tre diversi tipi di crescita. ¶ Ecco perché la

un secolo dovrebbe crescere di più di sedici volte

dovrebbe crescere di più di sedici volte, contro le

che si sta parlando di qualcosa che cresce molto

terroristico ha appena annunciato di aver sferrato un attacco

che avete 1 probabilità su 1000 di essere stati in contatto

dà l’1 per cento di falsi positivi (persone non

e l’1 per cento di falsi negativi (persone malate

risultato positivo. È ora di scrivere in tutta fretta

contratto la malattia, immaginate di sottoporre 1 milione di individui

immaginate di sottoporre 1 milione di individui a quel test

a quel test. Mille di loro saranno effettivamente malati

al test: il numero di chi è sano è

considerando il 99 per cento di efficacia del test. ¶ Vi

presentato un tipico esempio di calcolo di probabilità a

tipico esempio di calcolo di probabilità a posteriori, detta

anni dopo la morte di Bayes). In genere la

sarebbero semplici: la probabilità di essere malati è in

a eseguirlo), la probabilità di malattia resta quella a

conti, usando la formula di Bayes, se ve la

immaginate un gran numero di esempi e guardate cosa

Per cercare l’omicida di Yara Gambirasio sono stati

sono stati raccolti 20.000 campioni di DNA di maschi adulti

raccolti 20.000 campioni di DNA di maschi adulti che vivono

si portano ai blocchi di partenza: pronti, attenti, via

come nel racconto sembrerebbe di no. Peggio ancora, se

ancora dietro; il punto di incontro sarà davvero alla

sarà davvero alla distanza di uno stadio? La risposta

un modo a prova di bomba per accettare questo

è stato il coronamento di decenni di sforzi dei

il coronamento di decenni di sforzi dei matematici, finché

ha sviluppato il concetto di “taglio” per definire i

eseguire un numero infinito di azioni come quelle indicate

piccola) quantità, la distanza di Planck, al di sotto

distanza di Planck, al di sotto della quale non

ha neppure senso parlare di distanza. E se preferite

preferite un modo diverso di vedere la cosa, prendete

zero e più piccolo di ogni numero positivo. Posso

anche farvi un esempio di numeri come questo: l

non può essere maggiore di zero perché altrimenti la

è così importante? ¶ Quello di cui forse è meglio

esattamente la stessa cosa di 1. Nel primo caso, infatti

volesse indicare il fatto di aver eseguito effettivamente la

il risultato fosse maggiore di 0,999 e minore di 1,001. Tanto

maggiore di 0,999 e minore di 1,001. Tanto per dire: se

che un eventuale errore di lunghezza sia minore di

di lunghezza sia minore di 1 millimetro. Avete notato la

non avete più verifiche di matematica a scuola! ¶ Quanto

altro completamente diverso. Nulla di strano: secondo un detto

ad accorgersi della “martellità” di uno strumento se non

non quando si tratta di piantare un chiodo; il

fatto che al soglio di Pietro fosse assiso l

a fianco dell’estrazione di radice. Se 103 = 1000, allora sappiamo

che la radice cubica di 1000 è 10, ma sappiamo anche

che 3 è il logaritmo di 1000 in base 10; tra l

è la stessa cosa di 310. Ma non era questo

in sottrazioni, al costo di dover tenere sottomano le

per trovare il logaritmo di un numero e viceversa

scuola che il prodotto di due potenze di un

prodotto di due potenze di un numero si ottiene

quella è la chiave di volta. ¶ Fino alla metà

fare con i logaritmi di continuo: il regolo calcolatore

almeno puoi far finta di leggere le iscrizioni? La

saper trattare gli ordini di grandezza. I numeri che

la soglia dei 2000 miliardi di euro – e ringraziate che

perché saremmo a 4 milioni di miliardi – non abbiamo nessuna

abbiamo nessuna idea pratica di cosa sia quel numero

il logaritmo in base 10 di 1000 miliardi, e sicuramente è

per esempio, la quota di debito pubblico italiano che

pubblico italiano che ciascuno di noi avrebbe? Siamo 60 milioni

alla quinta potenza, cioè 1/3 di 100.000, cioè circa 33.000 euro. Ecco

con i logaritmi, invece di avere differenze costanti, si

pluridecennale curiosità. ¶ Un esempio di prova del nove. ¶ Per

così ottenuta ha più di una cifra, sommiamo quelle

in genere all’interno di una croce, come si

dell’aritmetica modulare, cioè di quella che negli altri

che negli altri libri di divulgazione matematica chiamano “l

il resto della divisione di 10, 100, 1000… per 9 è 1, il modulo

Purtroppo però la semplicità di calcolare il modulo 9 si

problema: se scambiamo tra di loro due cifre del

prova dell’undici. ¶ Numeri di dubbia fama ¶ Quando a

nomi dei vari tipi di numeri forse non ci

troppo caso, ma molti di quei nomi non fanno

bene: ma che dire di irrazionali e immaginari? Perché

storia è più complicata di quanto possa sembrare a

ci sia un concorso di colpa. ¶ Partiamo dai numeri

numeri razionali e irrazionali. Di per sé quei nomi

esprimibile come il rapporto di due numeri interi, e

fu tale che decisero di basarsi fondamentalmente sulla geometria

seguendo l’ottimo punto di vista secondo cui un

sarà stato il rapporto di due numeri, ma almeno

sono diventati “irragionevoli”. Qualcosa di simile è successo per

poveri numeri negativi, che di per sé non avrebbero

non avrebbero fatto nulla di male, ma è rimasta

per risolvere le equazioni di terzo grado, si accorse

terzo grado, si accorse di un piccolo problema: nel

dire le radici quadrate di numeri negativi. Un numero

se si faceva finta di nulla e si continuava

complicati? Macché. Sono più di due secoli che si

trovato un modo semplice di rappresentare i numeri positivi

ma quando mai capita di farlo?). Però i pregiudizi

nomi alle nuove classi di numeri deve essersi ritrovato

sono esprimibili come soluzione di un’equazione polinomiale a

transfiniti. Georg Cantor decise di buttare all’aria due

due millenni e mezzo di matematica nella quale l

dando una definizione esplicita di numero infinito. Scoprì però

infinito. Scoprì però che di tipi di infinito ce

però che di tipi di infinito ce n’erano

merito alla curia romana di non aver cestinato la

cestinato la lettera, e di averla passata al cardinale

religiose dal suo concetto di Transfinito». E fu così

è proprio il caso di dirlo – da Santa Romana

altro dei dubbi che di solito la scuola elementare

è lunga, più vecchia di due millenni, e comincia

comincia con il paradosso di Achille e della tartaruga

tartaruga descritto da Zenone di Elea. Tenete conto che

definito un troll: uno di quelli che si divertivano

impegna in una gara di velocità con la tartaruga

le dà un vantaggio di nove decimi di stadio

vantaggio di nove decimi di stadio. I due concorrenti

miei creditori, posso dire di avere –1000 euro. Ok, probabilmente

deposito sul mio libretto di risparmio 100 euro (+100), tra dieci

fa (–10) avevo 1000 euro meno di quanto abbia ora; più

avrò allora 1000 euro meno di adesso; meno per più

contenuto del mio libretto di risparmio dieci anni (–10) fa

c’erano 1000 euro più di adesso: ecco qua il

sa, quando si parla di soldi la matematica risulta

rompiscatole. Se mi capita di sentir dire una frase

e dà un’idea di quale termine sia più

bambino ha un numero di caramelle che è la

quello che ne ha di più; continua a fare

o due. Il numero di caramelle che questi bambini

la mediana della distribuzione di caramelle. ¶ Scenario 3: la maestra

la maestra è una di quelli che non perdono

non perdono l’occasione di partecipare a un televoto

modo che in ciascuno di essi tutti i bambini

abbiano lo stesso numero di caramelle, e va dal

più numeroso. Il numero di caramelle che hanno i

che hanno i bimbi di quel gruppo è la

la moda della distribuzione di caramelle. ¶ Mi affretto a

nonostante tutti i numeri di partenza siano interi. Quello

con un numero diverso di caramelle?”. Li si manda

la mediana come valore di mezzo tra i due

parti uguali il gruppo di partenza. ¶ ·“Cosa succede se

con lo stesso numero di bambini?”. Succede semplicemente che

è l’unico tipo di media che non deve

cui i tre tipi di media coincidono, ma non

difficile scegliere un insieme di elementi che danno risultati

una relazione particolare tra di essi, tipo che la

tre numeri indipendenti tra di loro. ¶ Una volta compresa

è la media giornaliera di quello che ho fatto

sempre, come quando parlano di “reddito medio degli italiani

dividerlo per il numero di persone – ma è una

stupida del mezzo pollo di Trilussa. Non ci credete

Non ci credete? Immaginate di trovarvi in un salone

salone con una dozzina di colleghi e Berlusconi (o

se preferite non parlare di politica), e di calcolare

parlare di politica), e di calcolare il reddito medio

è dato dalle tabelle di crescita dei neonati. Sapere

definizione, il 50 per cento di tutti i bambini è

per cento è al di sopra. La misura è

a sapere chi è… di moda, o, se preferite

hanno la stessa probabilità di uscita: lanciando due dadi

Basta insomma un po’ di attenzione per non perdersi

sopravvalutata. È sicuramente vecchia di secoli – nel libro del

il primo testo italiano di aritmetica a stampa, viene

descritta –, ma è una di quelle cose che cancellerei

scoperto che per generazioni di ex scolari il concetto

Ad Anna, ¶ compagna di vita ¶ Introduzione ¶ Il 78,2 per

Addirittura il 42 per cento di loro afferma di avere

cento di loro afferma di avere “paura della matematica

della matematica”. Che dire, di fronte a questi dati

tazza ottiene il disegno di una foglia o di

di una foglia o di un cuore. Io non

non perfetto dal punto di vista estetico, ma più

scolastici impongono agli studenti di incamerare “competenze” che al

che al 99 per cento di loro non serviranno mai

molto spesso la fortuna di trovare un professore davvero

non solo in grado di far notare che la

vita quotidiana è piena di matematica – lo dicono in

non sono in grado di spiegare perché lo sia

pochi minuti ci capita di parlare di cinema, di

ci capita di parlare di cinema, di economia, di

di parlare di cinema, di economia, di politica, e

di cinema, di economia, di politica, e non è

allora non possiamo chiacchierare di temi matematici curiosi? ¶ Questo

libro è la raccolta di tanti piccoli argomenti, tutti

nulla. Non penserete mica di fare i disegnini o

dice il titolo, tratta di giochi, di azzardo e

titolo, tratta di giochi, di azzardo e non; Andando

racconto nel libro, cercherò di far comprendere in modo

della struttura logico-matematica di quello che ci circonda

a molto nella vita di tutti i giorni, e

abbiamo un’idea qualitativa di cosa dobbiamo aspettarci, corriamo

qualcuno sfrutti una massa di numeri e formule piazzati

e 165 astenuti il disegno di legge del Senatore Cirenga

fondo prevede lo stanziamento di 134 miliardi di euro da

lo stanziamento di 134 miliardi di euro da destinarsi a

fine del mandato». Quanti di quelli che l’hanno

nemmeno sommato il numero di voti indicati, per accorgersi

stanziata per i meno di mille parlamentari, per scoprire

per scoprire che ciascuno di essi avrebbe ottenuto più

essi avrebbe ottenuto più di 130 milioni? Di matematica ne

ottenuto più di 130 milioni? Di matematica ne serviva poca

matematica ne serviva poca, di buon senso non molto

buon senso non molto di più: se la prima

comincio con Enrico Casadei di Codice, che leggendo le

potuto replicarle in forma di libro, e Stefano Milano

e Stefano Milano, sempre di Codice, che si è

meno) ¶ Immagino che molti di voi avranno notato una

che lasciano perplessi. Una di queste è la regola

da due numeri negativi? ¶ Di solito l’insegnante ha

ancora oggi: per evitare di dire che la temperatura

della notte è stata di –3 gradi si usa la

un modo relativamente semplice di osservare all’opera la

segni, sfruttando due insiemi di numeri positivi e negativi

di autobus ¶ Una ventina di anni fa per andare

essere una delle linee di forza della rete di

di forza della rete di trasporti torinese ma che

ma che per mancanza di soldi non era mai

stata convertita in tram. Di bus sulla linea in

avessero la pessima abitudine di arrivare a coppie, se

non addirittura in convogli di 3. Il motivo non è

soli, né il risultato di una perversa programmazione degli

troverebbero la stessa successione di semafori. Ma non viviamo

ci sia un gruppetto di giovani che fa perdere

perdere ancora un po’ di tempo. Come risultato, il

rispetto alla sua tabella di marcia. Ma più è

della coppia aumenterà ancora di più, fino a permettere

a un terzo bus di unirsi al convoglio. ¶ Tutto

capolinea raramente dura più di un’ora e pertanto

limite pratico alla lunghezza di questi convogli. L’accorpamento

paradosso legato ai tempi di attesa, che si manifesta

si ha un convoglio di tre autobus; se ce

non succede infatti nulla di strano. Immaginate di avere

nulla di strano. Immaginate di avere una linea di

di avere una linea di bus che in teoria

bus passano a distanza di 1 minuto ciascuno dal precedente

una possibilità su tre di aver visto ciascuno dei

casi avrete un’attesa di 1 minuto, nel terzo 43 minuti

Ci sono 43 possibilità su 45 di essere arrivati nell’intervallo

caso il tempo medio di attesa sarà la metà

l’attesa media sarà di mezzo minuto, ma sono

probabili che il tempo di attesa medio sfiora comunque

go ¶ Ascoltare gli avvisi di Isoradio è secondo me

ora è un atto di fede, senza contare che

situazioni effettive. I 2 chilometri di coda segnalati sono magari

sono magari 10; o magari di coda non ce n

è molto più semplice di quanto si possa pensare

Partiamo da una situazione di traffico intenso su una

sono così vicine tra di loro che nello spazio

auto inchioderanno, avvicinandosi ancora di più tra loro: la

ridurrà a qualche decina di centimetri. Guardando la situazione

alto ci accorgeremmo allora di un fenomeno che i

d’urto, anche se di urti non ce ne

poiché occorre qualche frazione di secondo prima che un

un automobilista si accorga di avere via libera, e

il solito furbetto decide di spostarsi di corsia perché

furbetto decide di spostarsi di corsia perché gli pare

urto, per la gioia di centinaia di persone che

la gioia di centinaia di persone che verranno rallentate

causa sua. ¶ Il problema di superare la capacità di

di superare la capacità di una strada porta anche

agli ingorghi nelle ore di punta, per una ragione

può essere la causa di una simile anomalia? Beh

più tempo in palestra di una persona normale; quindi

dunque la percentuale percepita di uomini molto muscolosi è

molto muscolosi è maggiore di quella attuale ricavabile controllando

Un secondo esempio: immaginate di essere un insegnante, e

essere un insegnante, e di tenere due corsi. Il

secondo è un seminario di perfezionamento con solo 10 iscritti

la cosa dal punto di vista degli studenti: per

vista degli studenti: per 90 di loro la classe è

disuguaglianza tra gli insiemi di riferimento – i frequentatori casuali

riferimento – i frequentatori casuali di una palestra che ci

sempre là; gli studenti di una classe affollata e

classe affollata e quelli di un seminario per pochi

tante connessioni conta molto di più e distorce la

che li congiungono, relazioni di amicizia. Facendo la somma

la somma degli amici di ciascuno, si arriva a

persone, quindi una media di 2,5 amici a testa. Vediamo

suoi amici, per ciascuno di loro i suoi amici

con 3 amici; la media di amici per amico è

tra il numero medio di amici. Se aggiungiamo al

chi non è amico di Ringo?), il numero totale

Ringo?), il numero totale di amicizie diventa 12, e la

circa 3,13 amici ciascuno: più di prima! Con i dati

prima! Con i dati di Facebook capita appunto qualcosa

Facebook capita appunto qualcosa di simile. ¶ Attenzione, però! Questo

cosa con i seguaci di Twitter otterrete risultati completamente

neppure idea dell’esistenza di A. Quindi il fattore

classi – tutti gli studenti di una classe hanno tutti

proprio (almeno) una differenza di fondo. ¶ Ascensori sfuggenti ¶ Nell

Ascensori sfuggenti ¶ Nell’introduzione di Puzzle Math gli autori

semplificare i conti immaginate di avere un solo ascensore

ciclo e si troverà di nuovo al pianterreno. Se

piano. Il famigerato rapporto di una volta su sei

ascensore questo sia sopra di noi e non sotto

se c’è più di un ascensore. ¶ Una dozzina

un ascensore. ¶ Una dozzina di anni dopo, Donald Knuth

un palazzo ha più di un ascensore il software

chiamate. Immaginate per esempio di trovarvi al piano –3 di

di trovarvi al piano –3 di un parcheggio sotterraneo, e

secondo ascensore ha paura di recarsi così in basso

volta gli è capitato di fare brutti incontri? La

sa mai: un gruppetto di persone potrebbe arrivare tutt

può permettersi una manciata di secondi in più. Oppure

in più. Oppure immaginate di essere al sesto piano

al sesto piano e di chiamare un ascensore per

se qualcuno dovrà aspettare di più. Detto tra noi

a ridurre il tempo di attesa, ma la psicologia

lentezza. Geniale, vero? ¶ Triplette di autobus ¶ Una ventina di

il proprio guadagno, incurante di cosa succeda agli altri

ammazzerebbe sua nonna pur di guadagnare qualche soldo in

strategie particolari, chiamate equilibri di Nash (quello di A

equilibri di Nash (quello di A Beautiful Mind): sono

giocatori conviene fare qualcosa di diverso, perché ci perderebbe

racconto è un equilibrio di Nash: se qualcuno cambiasse

Catsville-Dogsburg l’equilibrio di Nash diventa “percorrere la

Se uno solo sceglie di non usare la tangenziale

sia pur piccola probabilità di complicazioni, e quindi se

una singola persona decide di non vaccinare il proprio

perdono tutti. ¶ Il paradosso di Braess è però ancora

lottare contro la costruzione di una nuova autostrada. Quello

degli esempi più noti di applicazione della legge di

di applicazione della legge di Murphy è “l’altra

cassiere sarà più imbranato di quello a fianco; se

noi qualcuno si lamenterà di qualche prezzo e terrà

Impossibile? No, matematico. ¶ Immaginate di essere in coda per

si tratta in effetti di coda quanto di rallentamenti

effetti di coda quanto di rallentamenti: per metà del

So che si tratta di un’ipotesi totalmente assurda