Maurizio Codogno, Matematica in pausa caffè, 2014

onorevole al gusto. ¶ Purtroppo i programmi scolastici impongono agli

penserete mica di fare i disegnini o scrivere formule

nella vita di tutti i giorni, e se proprio

nascita del fondo per i “parlamentari in crisi” creato

da destinarsi a tutti i deputati che non troveranno

la somma stanziata per i meno di mille parlamentari

condividetele su Facebook… ¶ Sezione I ¶ Aritmetica ¶ Meno per meno

punto” senza pensare che i numeri negativi non sono

esempio associare al futuro i numeri positivi e al

più semplice è associare i crediti ai numeri positivi

ai numeri positivi e i debiti a quelli negativi

chiaro. ¶ Mettiamo ora insieme i due concetti e vediamo

dei miei nonni, e i suoi unici movimenti siano

suoi unici movimenti siano i 100 euro che vengono prelevati

in una classe. Tutti i bambini hanno con sé

tutte le caramelle, mette i bimbi in fila e

ciascuno di essi tutti i bambini abbiano lo stesso

di caramelle che hanno i bimbi di quel gruppo

valore frazionario, nonostante tutti i numeri di partenza siano

valore di mezzo tra i due. Quello che conta

molti casi in cui i tre tipi di media

danno risultati diversi per i tre valori: nella figura

registro in una tabella i chilometri percorsi ogni giorno

per cento di tutti i bambini è sotto il

lotteria dove non tutti i numeri hanno la stessa

abbiamo sbagliato ad aggregare i dati. Se per esempio

grafici distinti, uno per i maschi e uno per

fare il conto correttamente. I quattro numeri che si

dell’orologio” dimenticando che i giovani ormai non usano

oppure sbagliamo a incolonnare i prodotti parziali, i resti

incolonnare i prodotti parziali, i resti modulo 9 non cambiano

sottozero, basta naturalmente aggiungere 11. I resti che possiamo ottenere

che possiamo ottenere saranno i numeri da 0 a 10; nella

cifre o allineare male i due prodotti verrebbe subito

a scuola avete imparato i nomi dei vari tipi

impressione. Certo, ci sono i numeri bio… pardon, i

i numeri bio… pardon, i numeri naturali, e in

fin dei conti anche i razionali se la passano

era. È vero che i greci ci sono rimasti

scoperto che non tutti i numeri sono razionali: lo

anche “ragione”, e così i numeri irrazionali sono diventati

simile è successo per i poveri numeri negativi, che

si continuava a fare i conti, quei numeri inesistenti

modo semplice di rappresentare i numeri positivi, negativi, immaginari

capita di farlo?). Però i pregiudizi sono duri a

nell’Ottocento chi dava i nomi alle nuove classi

un animo spirituale: chiamare i numeri come pi greco

scambio epistolare, rispose che «i due concetti dell’Infinito

E fu così che i numeri transfiniti furono battezzati

il “Sistema definitivo” per i numeri che possono essere

interlocutore, nel suo caso i vari filosofi. In quello

nove decimi di stadio. I due concorrenti si portano

di “taglio” per definire i numeri reali. ¶ Se si

reali. ¶ Se si “tagliano” i numeri, mettendo quelli maggiori

quelle indicate nel racconto. I fisici dicono che esiste

e togliete 0,999999… da entrambi i lati. Ottenete 0 = 0,000000…; siete d

si continuano a studiare i logaritmi senza saperne il

nome potrebbe farlo credere, i logaritmi non sono un

tempo principalmente noto per i suoi importanti contributi… sull

interessare Nepero, che sviluppò i logaritmi per trasformare i

i logaritmi per trasformare i prodotti in somme e

del secolo scorso, quando i calcolatori erano le persone

le persone che facevano i calcoli con carta e

penna, avere a disposizione i logaritmi era una vera

manna. Laplace disse che i logaritmi avevano «raddoppiato la

a che fare con i logaritmi di continuo: il

segmenti era possibile moltiplicare i numeri corrispondenti. Ma oggi

gli ordini di grandezza. I numeri che usavamo un

in mesi. Ma ormai i milioni e i miliardi

ormai i milioni e i miliardi si sprecano. Quando

imparato a muoversi con i logaritmi è possibile stimare

logaritmi è possibile stimare i valori con semplicità, e

po’ inquietante! Ricapitolando: con i logaritmi, invece di avere

contro natura, sappiate che i nostri sensori interni operano

di 1000. Insomma, saper trattare i logaritmi può servire anche

gli spazi verdi ma i crimini; non i posti

ma i crimini; non i posti di lavoro ma

posti di lavoro ma i balzelli. Peccato però che

se la differenza tra i valori che assume a

in quel momento entrambi i vetrini avrebbero avuto 2 amebe

corretto oltre che sensato. I versi sono 140, ma le

possibili sono 100.000 miliardi. Scegliendo i versi a caso, con

maggior parte dei casi i grafici che illustrano gli

simili. Quello che probabilmente i giornalisti vogliono dire è

test non sbagliasse mai, i conti sarebbero semplici: la

Nel mezzo bisogna fare i conti, usando la formula

più? Provate a fare i conti, e forse vi

state messe due buste; i due amici ne prendono

il maggiore dei due. I ricercatori quindi chiedono loro

a euro. Visto che i due casi hanno la

è (5/4)b euro contro i b euro attuali. Come

no busta, dall’altro i ricercatori passerebbero un brutto

creato una differenza tra i due casi, e non

minore perché non esistono i mezzi centesimi: un matematico

piace, immaginate pure che i ricercatori siano stati così

nessuna voglia di fare i conti – se proprio volete

inizio presuppone che tutti i valori di denaro abbiano

la vincita”). Visto che i conti tornano? ¶ Il gioco

ma anche quelle con i risultati alternati – che non

c’è un ciclo. I matematici in questo caso

domande di ammissione presentate. I dati parlavano chiaro: era

risposta dell’università? Mostrò i dati sulle ammissioni suddivisi

iscrizioni a Berkeley e i tassi di disoccupazione sono

di disoccupazione sono solo i casi più eclatanti di

con 7 e ne aggiusta 1. I risultati non sono certo

riesce a riparare tutti i restanti 3 computer, e Lisa

in maniera troppo brutale i dati. Nella seconda giornata

non ha colpe, perché i singoli dipartimenti non erano

fittizie, con cifre tra i 100 e i 100.000 euro, e

cifre tra i 100 e i 100.000 euro, e inviare la

fossero state vere, quelle i cui valori iniziano con

sia dimostrata con tutti i crismi, ma ha il

di qualcosa di strano: i bordi delle prime pagine

appunto. Benford lavorava per i Research Laboratories della General

di dati di tutti i tipi e nel 1938, dopo

di ogni sorta, presentò i dati sperimentali in un

della legge naturalmente usa i logaritmi: non la riporto

di cui tenere conto: i valori devono spaziare su

loro sarà alto tra i 100 e 199 centimetri. Il numero

misuriamo in mezzi chili, i Pfund tedeschi. In questo

In questo caso tutti i valori che prima iniziavano

di vista matematico, sono i cosiddetti problemi di Fermi

fare loro una stima: i risultati sono stati tra

è poi necessario fare i conti veri e propri

tutto naturali (che tutti i voti devono contare, tutti

voti devono contare, tutti i risultati possono capitare a

un ordine assoluto tra i candidati. In un certo

spiegazione matematica del perché i due candidati sembrano spesso

Non solo si riprende i suoi vecchi clienti, ma

soluzione di equilibrio vede i due carretti fianco a

da studiare? Ovviamente no. I modelli matematici sono appunto

non è supporre che i bagnanti siano distribuiti in

modo uniforme sulla spiaggia: i conti funzionano allo stesso

se invece di misurare i metri si contano i

i metri si contano i bagnanti e se ne

misurare. ¶ Il centro attira. ¶ I guai sono di altro

In definitiva, ricordate che i modelli matematici sono solo

volte. Da San Pietroburgo i bolscevichi hanno prima russificato

originale. Pensate a tutti i documenti da rifare ogni

da rifare ogni volta… I matematici hanno però sempre

gioco finisce ma adesso i rubli vinti sono 2, mentre

rubli? Cinque? Dieci? ¶ Facciamo i conti, il che significa

che significa elencare tutti i casi possibili, moltiplicare la

è sotto? ¶ Semplice. Perché i conti teorici funzionino, non

ho giocato, altrimenti perdo i miei soldi. La vincita

che all’inizio. Facendo i conti, la probabilità di

il trucco? Garantisco che i conti sono corretti: avete

spirare – a me piacciono i giochi di parole, non

tutti, o quasi tutti, i nostri soldi. Facendo la

giocata, avete perso tutti i soldi… e avete capito

stati per esempio estratti i 10 numeri da 1 a 10: gli

anche se sbaglia tutti i numeri o ne indovina

o mettersi a fare i conti?) Come avevo spiegato

volta che avete giocato i vostri 10 numeri, pensate che

È chiaro che tutti i numeri estratti saranno o

differenza (dopo aver saputo i numeri estratti naturalmente la

sono limitato ad accoppiare i vari casi. I matematici

accoppiare i vari casi. I matematici sono fondamentalmente pigri

facendo andare in tilt i tabelloni elettronici che non

un insieme di partite: i set. Nel tennis, poi

modo buffo di indicare i punti, in pratica nel

avversario. Potete dunque perdere i primi due set 0-6 e

è proprio così: fare i conti, fidarvi di me

punti. Per quanto riguarda i set il ragionamento è

set segnando 24 punti contro i 28 dell’avversario; nel secondo

negativo. ¶ Ricapitolando: se dopo i cappotti subiti nel primo

il quarto finiscono 7-6 (7-5) 7-6 (7-5), con i giochi persi a zero

avendo segnato 86 punti contro i 158 del vostro opponente: poco

fine potrete poi stupire i vostri amici mostrando come

nella vita di tutti i giorni: non è detto

come volevasi dimostrare. ¶ Per i curiosi, nella dimostrazione ho

indica le facce, V i vertici e S gli

ah, lo sapevate che i dadi “seri” hanno il

è un gioco con i dadi, bisogna usare per

equi, che non hanno i soliti valori da 1 a

la richiesta 1 implica che i numeri presenti nei dadi

coppie (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10), (11, 12)…e suddividere tra i due dadi i valori

tra i due dadi i valori di ogni coppia

tre minori. Non che i dadi debbano essere numerati

potrebbero per esempio usare i valori {1, 1, 1, 4, 6, 6} e {2, 2, 2, 3, 5, 5}. Sicuramente non

e l’altro con i valori {0,5, 1,5, 2,5, 4,5, 5,5, 6,5} se non si

giocatori, se vogliamo che i valori sui dadi siano

caso precedente, considerando stavolta i sei modi, proprio come

terne tra loro, perché i valori maggiori contano un

permutazioni e a destra i valori corrispondenti per i

i valori corrispondenti per i tre dadi. ¶ 2 2 3 1 1 3 ¶ {3, 5, 9, 10, 13, 18} ¶ 1 3 2 2 3 1 ¶ {1…È facile

in piccolo ci siano i valori ausiliari da 1 a

indicati. Per simmetria, se i valori ausiliari sono diversi

guaio è che se i giocatori sono quattro, sei

usati da chi apprezza i giochi di ruolo e

stabilire un ordine tra i giocatori. A questo punto

punto, a parte comprarvi i dadi, non avete che

di mettermi a cercare i valori di cinque dadi

cui facce ci sono i numeri {2, 2, 4, 4, 9, 9}, uno bianco con

numeri {2, 2, 4, 4, 9, 9}, uno bianco con i numeri {1, 1, 6, 6, 8, 8} e uno rosso

rosso con {3, 3, 5, 5, 7, 7}. Se fate i conti, scoprirete che in

possibile raccogliere prima tutti i voti e poi richiamare

stabilire quanti devono essere i candidati sfortunati da valutare

un’associazione esplicita tra i due valori, ma il

preparata è elegante, come i matematici amano dire quando

quando come risultato spuntano i numeri che a loro

città all’altra; mentre i tratti Catsville-Topolinia e

si è stabilizzata, e i paperopolesi si dividono esattamente

Filo Sganga ha convinto i loro sindaci a costruire

memoria di Alfred Nobel”. I “giochi” trattati dalla teoria

come in questo caso, i giochi sono classificati come

soluzione più intelligente per i pendolari consisterebbe nell’ignorare

entrambe le corsie percorreranno i 4 chilometri nello stesso tempo

che nell’altra corsia i tratti occupati siano percorsi

Forse che Murphy preferisce i carrelli alle carrozzerie? Naturalmente

cosa può succedere con i cambi improvvisi di corsia

questo parlerò più avanti. ¶ I miei amici hanno più

festa di san Valentino. I bambini arrivavano con un

ne abbiamo, sì, ma i nostri amici hanno generalmente

utente aveva 190 amici, mentre i suoi amici in media

quella attuale ricavabile controllando i dati degli iscritti alla

studenti) e uno soggettivo (i propri compagni). Quando c

gli insiemi di riferimento – i frequentatori casuali di una

Proviamo ora a fare i conti con un insieme

quattro amici a Liverpool. ¶ I cerchi rappresentano persone; i

I cerchi rappresentano persone; i segmenti che li congiungono

per ogni persona consideriamo i suoi amici, per ciascuno

per ciascuno di loro i suoi amici, e infine

stesso vale per Paul. I loro amici hanno quindi

più di prima! Con i dati di Facebook capita

la stessa cosa con i seguaci di Twitter otterrete

semplice se per semplificare i conti immaginate di avere

sotterraneo, e vedere che i due ascensori sono al

diciamo allora che tutti i bus troverebbero la stessa

precedente. A questo punto i due bus si comportano

non sia possibile vedere i mezzi in lontananza. Secondo

è nulla in vista? ¶ I conti nel primo caso

attesa medio sfiora comunque i 21 minuti. Insomma, è meglio

rispetto alle situazioni effettive. I 2 chilometri di coda segnalati

di un fenomeno che i fisici chiamano onda d

è banale: non solo i semafori devono essere tarati

distanza tale per cui i due flussi opposti possono

far scattare contemporaneamente tutti i semafori e calcolare la

di nulla e tarare i semafori a caso (come

simmetria (come dicono sempre i fisici) lo spostamento medio

disposizione si raggiungeranno tutti i valori interi; anzi, lo

è quello che dicono i giocatori incalliti quando perdono

cento dei casi, per i pignoli). Detto in altro

specifica data. Non solo i mesi iniziano in un

pari eccetto il 2/2. Per i mesi dispari ci sono

un Seven-Eleven». Restano i primi tre mesi, in

è qualche relazione tra i due nomi? No, se

essendoci però nessuna struttura, i numeri sono messi a

come A-GRA. Con i fogli di carta, invece

ha come rapporto tra i lati la costante matematica

ci sono però voluti i tedeschi. Già nel 1786 lo

Lichtenberg notò che se i due lati di un

che dal rapporto tra i lati, dall’avere area

non ci sono solo i formati A: lo standard

lo standard prevede anche i formati B, col B

lungo 1 metro esatto, e i C, che sono la

tra gli A e i B corrispondenti, e che

anche in questo caso i numeri successivi dimezzano l

hanno poi esagerato con i formati D, E, F

spazio possibile, visto che i supporti per l’archiviazione

costose, e così apparvero i primi programmi di archiviazione

al bit 1000. Essendo tutti i bit indipendenti tra di

possibili. E quanti sono i possibili file con meno

di quelli da 1000 bit. I matematici hanno un modo

in qualunque modo associamo i file originari a quelli

mettere; senza poi contare i file più corti, che

può chiedere come mai i programmi di compressione funzionino

anche piuttosto bene. Semplice: i file che ci interessa

dei conti “pochi”. Riprendiamo i nostri file di 1000 bit

sfruttano il fatto che i nostri file sono tutto

In pratica noi comprimiamo i file che ci servono

diversi: quelli usati per i file audio, video e

non usa proprio tutti i colori iniziali. Questo sarebbe

diversa. Si dice che i maschi riconoscano solo sedici

nessuno può davvero riconoscere i milioni di colori definibili

che il condottiero cifrasse i propri testi sostituendo ad

la terza quello della I e così via. Terminata

vocali E, A, O, I sono tra le lettere

per potere cifrare tutti i messaggi, ma il destinatario

su internet si usano i sistemi a chiave pubblica

CD non fa fruscii? ¶ I corsi e ricorsi storici

fatto tornare di moda i 33 giri, i «vili vinili

di moda i 33 giri, i «vili vinili» come li

dell’opera del demonio: i file mp3, un complotto

invece facile spiegare perché i graffi su un CD

non si mettono solo i valori corrispondenti al suono

distanziare quanto più possibile i dati originari. A questo

anche tener conto che i graffi si concentrano in

la scrittura è abbreviata: i simboli usati servono per

schiavo di Istieo; quando i capelli dello schiavo ricrebbero

diventa più semplice fare i conti necessari per estrarre

post sui blog, ma i candidati perfetti per la

per la steganografia sono i file audio e soprattutto

un’immagine, si prendono i bit meno significativi – quelli

butta via nulla. Tra i successi spesso citati dell

strettamente necessario a pubblicare i primi articoli e libri

Questa débâcle dimostra che i Big Data sono solo

Beh, no. Per esempio i programmi che giocano a

a scacchi sconfiggono anche i migliori grandi maestri, usando

qualche possibile ipotesi. ¶ Innanzitutto i risultati ottenuti potrebbero semplicemente

può darsi che, dopo i primi anni in cui

questi errori è che i dati non erano sufficienti

cioè – del passato con i dati ufficiali sui focolai

l’ipotesi su cui i Big Data si basano

si basano, cioè che i dati a disposizione siano

quanto grandi devono essere i Big Data per assicurarci

in maniera incredibilmente valida i Big Data, lo spiegava

le equazioni». Insomma, perché i modelli basati sui Big

funzionino non basta che i dati siano disponibili a

Non so voi, ma i “Poteri Che Nessuno Sa

lo slogan “good enough”. I Big Data funzionano abbastanza

umani a dover prendere i dati e usare la

e online – per approfondire i temi trattati nel libro

per le voci matematiche. ¶ I. Aritmetica ¶ Meno per meno

sia arrivati a definire i numeri reali si trova

libro che tratta ampiamente i ragionamenti di probabilità a

e legali è Quando i numeri ingannano di Gerd

http://tinyurl.com/pausacaffe23. ¶ I due esempi iniziali sono

e iniqui ¶ Per comprare i dadi equi, si può

http://tinyurl.com/pausacaffe35. ¶ I dadi iniqui sono molto

http://tinyurl.com/pausacaffe44. ¶ I miei amici hanno più

algoritmo completo per calcolare i Doomsday è presente anche