Maurizio Codogno, Matematica in pausa caffè, 2014

per le buste: anche in questo caso i numeri

un foglio di carta in tre, per infilarlo in

in tre, per infilarlo in una busta commerciale? Il

per la piegatura. Ma in caso di emergenza, prima

divide il lato corto in quattro parti, e si

di compressione davvero nuove. In compenso, ogni tanto qualcuno

un file già compresso in precedenza. Mi stupisce sempre

somma è 21000 – 1, cioè uno in meno di quelli da

dobbiamo mettere n + 1 oggetti in n cassetti ce ne

nostro caso scopriamo che in qualunque modo associamo i

interessa davvero comprimere sono in fin dei conti “pochi

tutto meno che casuali. In pratica noi comprimiamo i

Tuttavia quando si legge in giro di metodi di

lettere nel testo originario. In italiano si sa che

distribuzione statistica delle lettere in italiano. ¶ Durante la prima

come tutto il testo: in questo modo diventa impossibile

che ogni possibile testo in chiaro abbia la stessa

fare una transazione sicura in rete doveste prima andare

cifrario perfetto è inutilizzabile in pratica, se non in

in pratica, se non in casi particolari. Lo so

innanzitutto essere evidente che, in linea di principio, una

ingrandimento, e nessuno è in grado di distinguere quelle

dei CD ne richiede in effetti 44.100 – siamo a posto

il valore del suono in questi punti, visto che

cominciò ad essercene bisogno. In precedenza si studiava come

anch’essi, ricordatevelo!) calcolati in modo da distanziare quanto

di sicurezza. ¶ Le cose in realtà non sono così

i graffi si concentrano in una posizione specifica del

che corrispondono ai valori, in modo da ridurre il

la stenografia. Devono cascarci in molti, visto che la

della voce di Wikipedia in lingua inglese. In effetti

Wikipedia in lingua inglese. In effetti entrambi sono metodi

sono stati ancora riconvertiti in un testo normale. La

un’altra cosa: steganòs in greco significa “segreto, coperto

controllava le proprie fonti… ¶ In ogni caso l’idea

Tritemio che – molto opportunamente – in apparenza era un trattato

contenere il messaggio reale. In pratica, si parte da

era infatti stato crittografato in precedenza. Perché allora darsi

steganografia viene davvero usata in pratica? Mi limito a

tratta: usare la potenza in costante crescita dei calcolatori

medici. Google invece vede in tempo reale le ricerche

predittive di Google sono in fin dei conti puramente

dopo i primi anni in cui le stringhe di

poi una terza ipotesi, in un certo senso molto

eheheh…) da questa conoscenza. In due parole: più se

giunge rapidamente al caos in senso matematico, ossia all

sua psicostoria, aveva previsto in maniera incredibilmente valida i

abbastanza. Io posso dare in pasto a Google Translate

si raccoglie alle fermate in attesa del suo arrivo

ad essere un po’ in anticipo, cosa che sommata

al convoglio. ¶ Tutto ciò in teoria potrebbe proseguire all

linea di bus che in teoria dovrebbero passare ogni

dove si formano triplette: in pratica il secondo e

possibile vedere i mezzi in lontananza. Secondo voi, aspetterete

non c’è nulla in vista? ¶ I conti nel

visto ciascuno dei bus; in due casi avrete un

nell’intervallo sfortunato, e in quel caso il tempo

gli altri due casi in cui l’attesa media

traffico rallentato” non significherà in realtà trovarsi immobili per

gli avvisi sono sempre in ritardo rispetto alle situazioni

o dei banali lavori in corso che restringono la

non si potrebbe inserire in sicurezza nessun altro autoveicolo

d’urto si ha in tangenziale, quando il solito

a 2 chilometri l’ora in più: il suo inserimento

si può proseguire (tranne in Italia, dove la gente

vari tratti, proprio come in una catena è l

che il traffico viaggia in due direzioni opposte e

rossa” dall’altra, anche in situazioni ottimali di strade

strade perpendicolari tra loro. In una città costruita ex

come succede di solito in Italia), trovare un compromesso

oppure privilegiare una direzione, in questo caso probabilmente quella

verticale mostra la posizione in cui ci si trova

con una moneta equa in media non si vince

dopo un certo tempo, in media una metà degli

degli ubriachi sarà andata in una direzione e l

di là. ¶ Ci viene in aiuto la vera legge

è stato un momento in cui avete guadagnato molto

per i pignoli). Detto in altro modo, non era

vista un vostro amico in un centro commerciale e

solo i mesi iniziano in un giorno della settimana

giorno del calendario gregoriano – in poi. ¶ La procedura si

La procedura si suddivide in tre fasi: il calcolo

proprio. Conway notò che in ogni anno ci sono

italiano giorno/mese sia in quello americano mese/giorno

ricordarseli, «lavoro dalle 9 alle 5 in un Seven-Eleven». Restano

i primi tre mesi, in cui il Doomsday è

Doomsday per l’anno in corso si può procedere

dire a un bambino in che giorno della settimana

Lo scrittore spagnolo, perché in Inghilterra al tempo si

rettangolare; le rare volte in cui ci capita di

rettangolo usare? Viene subito in mente l’idea del

si vede quasi sempre in orizzontale, e ruotandolo per

mettere il lato lungo in verticale sembra che il

testo non finisca più. In realtà gli americani usano

un foglio fossero stati in rapporto pari a ci

lo standard è accettato in tutto il mondo, con

perde: devono cambiare strada in tanti perché ci sia

Ci sono altri casi in cui il comportamento egoista

però iniziano ad essere in tanti a fare questo

impressionante, dal momento che in questo caso si direbbe

il traffico stradale sia in altri campi come la

bloccata; e così via. In casi come questo non

alla fortuna: quando arriviamo in prossimità delle casse possiamo

applicato però alle code in automobile, ha una risposta

Times”. Vediamo come mai in quel caso la maggiore

matematico. ¶ Immaginate di essere in coda per 4 chilometri su

corsie. Non si tratta in effetti di coda quanto

un’ipotesi totalmente assurda in Italia, dove lo slalom

allora? Evidentemente le auto in entrambe le corsie percorreranno

all’ora verrà percorso in 6 minuti, mentre quelli a

all’ora si percorreranno in 2 minuti, con un tempo

Ho costruito lo scenario in modo che sia perfettamente

voi! ¶ Code a tratti. ¶ In matematica questo comportamento è

nostri amici hanno generalmente, in media, più amici di

numero dei nostri amici. In media un utente aveva

mentre i suoi amici in media ne avevano più

qualunque ora io entri in palestra, mi sembra sempre

passa molto più tempo in palestra di una persona

parte, è evidente che in media avete 50 studenti per

altri 10 è formata da 10. In media abbiamo così (90×90 + 10×10)/(90+10) studenti

abbiamo così (90×90 + 10×10)/(90+10) studenti, quindi in media ci sono 82 studenti

Lo scioglilingua si traduce in questo modo: per ogni

loro amici hanno quindi in media 3 amici. George e

Gli amici, però, hanno in media circa 3,13 amici ciascuno

si era accorto che in media cinque volte su

che il primo ascensore in arrivo stia scendendo. Allora

volta su sei è in pratica la precisazione matematica

Knuth scrisse un articolo in cui dimostrò che anche

paura di recarsi così in basso perché una volta

una manciata di secondi in più. Oppure immaginate di

terzo piano: quello più in alto inizia a scendere

l’indicatore del piano in cui si trovano solo

persone iniziarono a riassettarsi in attesa del loro arrivo

anni fa per andare in ufficio prendevo il 2, che

ufficio prendevo il 2, che in teoria avrebbe dovuto essere

era mai stata convertita in tram. Di bus sulla

Di bus sulla linea in effetti ce n’erano

coppie, se non addirittura in convogli di 3. Il motivo

la statistica funziona solo in media. ¶ Prendiamo come esempio

un bus ogni 5 minuti. In un mondo perfetto, le

avere un’onda verde in entrambe le direzioni occorre

occorre costruire una città in modo opportuno, calcolando con

semafori. Ma non viviamo in un mondo perfetto! Può

marcia. Ma più è in ritardo e più gente

di carte, e riposizionatele in ordine inverso: se la

Ripetiamo ora l’operazione, in questo caso rovesciando 4 carte

poi l’asso finirà in cima alla fila? ¶ La

è che siano tutte in ordine crescente. Il motivo

il numero di modi in cui si possono disporre

si limita a girarle in senso opposto, e questa

Questo è abbastanza usuale in matematica ma anche nella

strada percorsa per arrivare in un certo punto. Ad

di avere il re in ultima posizione – perché al

al passaggio precedente era in prima posizione – siamo sicuri

che dovrebbe trovarsi contemporaneamente in prima e ultima posizione

e ultima posizione. Più in generale, se le m

posizioni, rimarranno nell’ordine in cui si trovano. ¶ Bene

le carte che compaiono in prima posizione durante questo

maggiore k. Nel momento in cui è effettivamente al

che da questo momento in poi le prime k

k non apparirà più in prima posizione, contrariamente alla

cambia mai: per esempio in un poliedro senza buchi

cambiare di valore, ma in una sola direzione: o

dal numero di carte in fondo alla successione che

fa la prima mossa in giochi come il Monopoli

dado, il che dovrebbe in effetti dare un risultato

testa o croce perché in tasca avete solo carte

di ogni coppia, facendo in modo che ciascuno ne

con la regola aggiuntiva “in caso di parità, se

caso precedente, immaginate che in piccolo ci siano i

si riescono a dividere in quattro. Meglio passare dai

stessa probabilità di essere in una qualunque posizione relativa

dadi icosaedrici per giocare in cinque: la fregatura è

i conti, scoprirete che in media il dado verde

vince su carta; ma in questo caso c’è

prima? ¶ Cercasi segretario ¶ Viviamo in un mondo sessista: il

che sotto sotto qualcosa in comune ce l’hanno

storia invece è ambientata in un felice tempo passato

un felice tempo passato, in cui trovare lavoro era

Bene: sappiate che, almeno in italiano, si parla di

parla di dismutazioni, mentre in inglese il termine usato

che da dieci elementi in su esse sono circa

totale delle permutazioni. Detto in altro modo, se mischiamo

più o meno ovunque in matematica. In un certo

meno ovunque in matematica. In un certo senso è

del genere non verrebbe in mente a nessuno. ¶ La

Galileo. ¶ Sezione IV ¶ Andando in giro ¶ Attenti alle tangenziali

tangenziale che le colleghi: in soli 5 minuti si potrà

per le scienze economiche in memoria di Alfred Nobel

vantaggio da queste interazioni. In genere si studiano modelli

un abisso. Spesso, come in questo caso, i giochi

di guadagnare qualche soldo in più… Nei giochi non

fronte-retro) tutta Wikipedia in lingua italiana? Facciamo un

e possiamo immaginare che in media ciascuna di esse

varie stime di peso in chilogrammi è infatti compreso

per abituarsi a pensare in maniera creativa. La spannometria

certe votazioni non siano in grado di trovare un

assoluto tra i candidati. In un certo senso, insomma

dà qualche problema anche in un sistema bipolare, dove

a 250 metri dalla fine; in questo modo si dividono

farsi rubare la clientela in questo modo, e fa

suoi vecchi clienti, ma in più attrae anche quelli

la stessa clientela iniziale; in compenso chi sta agli

i bagnanti siano distribuiti in modo uniforme sulla spiaggia

è una regola importante in matematica: bisogna scegliere bene

scegliere bene il modo in cui misurare. ¶ Il centro

vende, per esempio, panini? In definitiva, ricordate che i

prima russificato il nome in Pietrogrado, poi l’hanno

esponenziale, e abbiamo visto in precedenza come l’esponenziale

cresca troppo, e troppo in fretta. Per darvi un

ma la parola praticamente in matematica non ha cittadinanza

è un disco diviso in 37 settori uguali, numerati da

tre volte e uscire in attivo. Persino sulla roulette

Con quanti soldi uscirò in media dal casinò?”, e

maggiore dei 10 che guadagnereste in caso di vittoria. Però

ci pensate un attimo, in fin dei conti ve

volta, prima di scivolare in giù per 10 metri. Alla

ci si scopre più in basso di prima, nonostante

lo stesso problema. Entrate in un casinò con 127 euro

vostro totale netto è in attivo di 1 euro: di

la probabilità di finire in bolletta è maggiore, ma

cento. Questo significa che in più del 99 per cento

Peccato per la volta in cui avete perso tutto

Doppia puntata, doppia rendita? ¶ In questi tempi salutisti e

quasi nessuno che entri in una tabaccheria per comprare

rara, è sicura; invece in giochi come il Win

sua volta 10, si è in competizione con tutti gli

conto della psicologia. Viviamo in un mondo difficile. ¶ Ma

del montepremi è diviso in altre categorie: si vince

indovinano 9, 8 e 7 numeri, sebbene in quest’ultimo caso si

a 68 per Isner, mandando in frantumi una serie di

punteggi e facendo andare in tilt i tabelloni elettronici

Sono parecchi gli sport in cui una partita può

una finale di calcio in cui le squadre arrivano

segno o farseli parare in simultanea. Il tennis però

però ha una peculiarità: in casi patologici come questo

per esempio nella pallavolo, in realtà non si gioca

vinti dall’avversario, mentre in quelli vinti da lui

di indicare i punti, in pratica nel tennis un

ci conviene fermarci sul 6-4. In definitiva è possibile vincere

ne prendono una ciascuno. In seguito vengono separati, in

In seguito vengono separati, in modo che non possano

hanno la stessa probabilità, in media cambiando busta guadagnerò

a vostra insaputa… ¶ Più in generale, io non ho

una risposta nel caso in cui non si sappia

quindi scegliendo CTT vinceremo in media sette volte su

è un caso particolare: in fin dei conti la

un ciclo. I matematici in questo caso parlano di

d’ordine non transitive”; in generale siamo abituati a

che divertimento ci sarebbe in un gioco dove si

dove si sa già in anticipo chi vince? ¶ Grafo

Gardner che ne parlò in un articolo del 1974 per

italiano è “discriminazione positiva”. In pratica, applicano appositamente un

ha la pelle bianca. In queste cose gli americani

di Berkeley fu citata in giudizio per aver discriminato

di trattamento, questa era in favore delle donne. Le

dei dipartimenti aveva accettato in percentuale più donne che

può essere il motivo: in fin dei conti stiamo

è il più bravo? ¶ In una gara di abilità

riparare 10 computer a testa in 2 giorni. Il primo giorno

Facciamo le somme. Bart in tutto ha riparato 4 computer

percentuali parziali sono effettivamente in favore di Bart, tuttavia

usare le percentuali omogeneizza in maniera troppo brutale i

dati. Nella seconda giornata, in effetti, Bart vince solo

divario – quello sì anche in valore assoluto – del primo

rivista che non siamo in grado di creare numeri

caso) valori distribuiti uniformemente in quell’intervallo. Tutto a

di bomba, insomma? Forse in Italia sì, ma negli

scoperto dall’agenzia preposta. In effetti se le fatture

legge, rispetto a teorema, in matematica significa che non

di semplice linea guida. In secondo luogo si tratta

il primo a scoprirla. In effetti il primo a

ne ho già parlato?). In un momento di inattività

presentò i dati sperimentali in un articolo dove formulò

di numeri «generati casualmente in un contesto reale»: la

iniziano con quel numero. In pratica le prime cifre

cifre dei numeri variano in modo apparentemente strano, ma

dei numeri è distribuita in maniera uniforme. ¶ Potete verificare

altezza dei diciottenni misurata in centimetri non va bene

che se una legge in effetti esiste per un

insieme di dati misurati in chilogrammi soddisfino una certa

deve funzionare se misuriamo in mezzi chili, i Pfund

chili, i Pfund tedeschi. In questo caso tutti i

alcuna ombra di sciovinismo. In genere lo si associa

ricercatori che hanno dimostrato in maniera incontrovertibile e letale

mostrò le sue capacità in molti altri settori della

carta che aveva lanciato in aria al momento dello

quanto un accordatore lavora in un anno. ¶ Cimentiamoci con

vista innocue per mettere in difficoltà l’interlocutore, nel

caso i vari filosofi. In quello che è il

veloce Achille si impegna in una gara di velocità

pronti, attenti, via! Achille in breve tempo percorre gli

e raggiunge il punto in cui la tartaruga è

lemme lemme 0,09 stadi. Achille in un balzo arriva lì

stadi che Achille copre in un lampo: ma la

Ora, sul fatto che in una gara vera e

altra, possiamo affermare che in mezzo non c’è

po’ triste che siano in pochi ad accorgersi della

introduceva il metodo scientifico, in un posto molto improbabile

è il logaritmo di 1000 in base 10; tra l’altro

per trasformare i prodotti in somme e le divisioni

somme e le divisioni in sottrazioni, al costo di

usava una scala logaritmica, in modo che affiancando due

già avere ben 365 giorni in un anno sembrava una

e si preferiva misurare in mesi. Ma ormai i

per definizione il logaritmo in base 10 di 1000 miliardi, e

sensori interni operano proprio in quel modo, per rapporti

la cui intensità è in un rapporto di 1 a

scala Richter è tarata in modo che la differenza

logaritmi può servire anche in pratica! ¶ Crescere troppo ¶ Ai

fatto caso, a crescere in modo esponenziale non sono

strana: è vero che in matematica e in fisica

che in matematica e in fisica la funzione esponenziale

di 50 chilometri l’ora: in 1 ora percorrete 50 chilometri, in

in 1 ora percorrete 50 chilometri, in 2 ore 100, in 3 ore 150. Se

percorrete 50 chilometri, in 2 ore 100, in 3 ore 150. Se disegnate il

un aereo a 500, ma in ciascun caso avrete una

un problema abbastanza noto in cui si suppone che

coltura di amebe raddoppi in numero ogni giorno e

il vetrino di coltura in 10 giorni. Se in un

coltura in 10 giorni. Se in un successivo esperimento si

giorno dopo il primo, in quel momento entrambi i

solo 10 pagine, ciascuna divisa in 14 striscioline orizzontali: su ognuna

di un sonetto, costruito in modo che scegliendo una

termine: non tanto perché in 24 anni il PIL raddoppierebbe

PIL raddoppierebbe, ma perché in un secolo dovrebbe crescere

che porta alla morte in una settimana. Quel che

su 1000 di essere stati in contatto con il virus

È ora di scrivere in tutta fretta il testamento

ci si è ammalati in un caso su undici

che forse ne parlò (in realtà fu il suo

la morte di Bayes). In genere la prima stima

di essere malati è in realtà una certezza. Se

usato indiscriminatamente, ma solo in aggiunta ad altri indizi

comprendere le effettive probabilità in gioco. Un altro esempio

quando ci si trova in una situazione di quel

davvero bravo, non solo in grado di far notare

di matematica – lo dicono in tanti, e onestamente la

sia, ma non sono in grado di spiegare perché

sono difficili da dimostrare in maniera formale, ma si

alla macchinetta del caffè. In fin dei conti in

In fin dei conti in quei pochi minuti ci

piccoli argomenti, tutti trattati in poche pagine e pensati

azzardo e non; Andando in giro tratta esempi che

rimandi ad altri capitoli in cui un certo tema

certo tema è trattato in modo un po’ diverso

ma spero che anche in quel caso saprò trattarli

quel caso saprò trattarli in modo diverso da quello

cercherò di far comprendere in modo intuitivo cosa c

un computer e dargli in pasto la formula. ¶ Se

fondo per i “parlamentari in crisi” creato in vista

parlamentari in crisi” creato in vista dell’imminente fine

che avrei potuto replicarle in forma di libro, e

errore ha conseguenze devastanti. In alcuni casi, come con

ma l’avrebbe trasformata in x2 = 5x + 6 per eliminare

quei fastidiosi segni meno. In fin dei conti, la

dieci anni (+10) avrò 1000 euro in più rispetto a oggi

a seconda del contesto in cui ci si trova

trova. ¶ Siamo a scuola, in una classe. Tutti i

caramelle, mette i bimbi in fila e comincia a

televoto. Divide la classe in gruppetti, in modo che

la classe in gruppetti, in modo che in ciascuno

gruppetti, in modo che in ciascuno di essi tutti

probabilmente vi sono venuti in mente leggendo. ¶ ·“Ma nello

più degli altri!”. Vero: in effetti la media può

che la mediana divide in due parti uguali il

Ci sono molti casi in cui i tre tipi

che cosa ci serve in un dato contesto. Se

una maratona e registro in una tabella i chilometri

e non deve, perché in pratica vi fregano sempre

credete? Immaginate di trovarvi in un salone con una

su quale risultato puntare in una lotteria dove non

si calcolano si mettono in genere all’interno di

Addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni in aritmetica modulare sono del

complicato, ma nemmeno troppo in realtà. Bisogna infatti alternativamente

per la stessa operazione. In questo caso scambiare tra

i numeri naturali, e in fin dei conti anche

connotazione positiva o negativa: in latino ratio significa “rapporto

numeri spuntavano nel caso in cui l’equazione aveva

qui il nome immaginari, in contrapposizione a quelli “reali

numeri complessi, che uniscono in maniera più o meno

negativi, immaginari e complessi in modo politically correct, e

uneigentlich] ed equivoco. Considerato in questo modo, per quanto

che possono essere messi in ordine crescente. Vi assicuro

di un quotidiano scritto in cinese e ottenere un

che, finché ci troviamo in un dominio molto limitato

sto aspettando il momento in cui il migliore giocatore

Wikipedia, generalmente nella versione in lingua inglese: non sempre

Per avere qualche esempio in più di distribuzioni statistiche

tra Cantor e Franzelin in traduzione inglese (l’originale

l’originale naturalmente è in tedesco) all’indirizzo http

si trova nella pagina in inglese: http://tinyurl.com

O’Connell, Sex Bias in Graduate Admissions: Data From

Admissions: Data From Berkeley (in “Science”, 187, 4175, pp. 398-404, 1975); e When

legge di Benford ¶ Anche in questo caso un’ottima

di problemi di Fermi (in inglese) si trova all

su Wikipedia nella pagina in italiano, http://tinyurl.com

molto meno recenti, e in genere sono detti non

su Wikipedia nella pagina in inglese http://tinyurl.com

com/pausacaffe37. ¶ IV. Andando in giro ¶ Attenti alle tangenziali

pausacaffe41. ¶ Un esempio meccanico in cui si vede il

corsie si può leggere in un articolo di Andy

Passeggiate casuali ¶ La pagina in inglese su Wikipedia http

per piegare un foglio in tre è spiegato all