Maurizio Codogno, Matematica in pausa caffè, 2014

ci sono due giocatori, la richiesta 1 implica che i

tutti diversi: per semplificarci la vita, diciamo che sono

di valori che rispettino la proprietà 2, per esempio {1, 3, 5, 8, 10, 12} e

due dadi normali con la regola aggiuntiva “in caso

mettete voi a spiegare la regola ai due giocatori

un dado, per ordinare la terna (1, 2, 3). Occorre però fare

che quei dadi rispettano la proprietà 2. Come nel caso

o quattro, ciascuno ha la stessa probabilità di essere

per giocare in cinque: la fregatura è che tanto

È un po’ come la morra cinese, con carta

capo di un partito, la seconda è da decenni

nelle buste. Qual è la probabilità che nessuno dei

nessuno dei destinatari riceva la lettera indirizzata a lui

lettera indirizzata a lui? ¶ La seconda storia invece è

poco verosimile!) Qual è la strategia che dà la

la strategia che dà la maggiore probabilità di scegliere

fondamentalmente combinatorio: occorre trovare la formula che indica il

sono !n. Vi risparmio la formula esplicita per il

caso delle assunzioni, invece, la strategia ottimale consiste nel

così dire a vuoto: la risposta, nel caso di

in mente a nessuno. ¶ La teoria delle assunzioni così

che a loro piacciono: la pratica però è molto

però è molto diversa. La procedura di scelta che

con un punteggio di 9,5. La matematica è un utile

inenarrabile ingorgo alla fine la situazione si è stabilizzata

Paperone avrebbe voluto costruire la tangenziale, ma dopo aver

dopo aver scoperto che la commissione era presieduta da

è successo dopo che la strada è stata completata

conveniva loro passare per la nuova strada. Per compiere

minuti, cioè 45 minuti, mentre la strada diretta Paperopoli-Dogsburg

salito a 4000/100 + 5 + 4000/100 = 85 minuti, nonostante la nuova strada (anzi, proprio

è costretto a distruggere la strada… e a mangiarsi

su questa trama. Però la matematica dietro questo racconto

sta a metà tra la matematica e l’economia

che dopo avere aperto la strada Catsville-Dogsburg l

di Nash diventa “percorrere la tangenziale”. La soluzione più

diventa “percorrere la tangenziale”. La soluzione più intelligente per

pendolari consisterebbe nell’ignorare la nuova strada: ma è

sceglie di non usare la tangenziale ci perde: devono

gli altri sono vaccinati la malattia non può diventare

questo “intelligente” ragionamento, allora la malattia può diffondersi e

in altri campi come la distribuzione della corrente elettrica

arco per lottare contro la costruzione di una nuova

altra fila è sempre la più veloce”. Se per

prezzo e terrà tutta la fila bloccata; e così

mai in quel caso la maggiore lentezza della corsia

nell’altra corsia vale la stessa cosa. Impossibile? No

all’ora. Per semplificarci la vita immaginiamo anche che

i nostri soldi. Facendo la media, è un po

stesse “quasi sempre” salendo. ¶ La martingala, di cui ho

euro. Se vincete, prendete la vostra vincita e scappate

così, raddoppiando ogni volta la posta, finché non vincete

non vincete oppure, dopo la settima giocata, avete perso

voi. ¶ Ma qual è la probabilità di essere così

ad ogni giocata, quindi la probabilità di perdere sempre

favorisce il banco, quindi la probabilità di finire in

ho vinto!”. Peccato per la volta in cui avete

come dicevo, non sempre la risposta giusta è quella

un francobollo, anche perché la risposta che probabilmente si

e sperare di cambiare la propria vita. Non che

propria vita. Non che la vita cambi necessariamente, anche

cambi necessariamente, anche imbroccando la combinazione giusta! Nei Gratta

contro lo Stato e la vincita, per quanto rara

scommettitori che avevano tentato la sorte con quella combinazione

stati ben 59, e così la loro rendita ventennale è

non è importante solo la matematica, oltre naturalmente alla

ne indovina al massimo 3. La vincita che si ottiene

ottiene facendo zero è la stessa che si sarebbe

o no di raddoppiare la posta è indifferente! Dimostrarlo

le possibili estrazioni hanno la stessa probabilità di capitare

il clone aveste scambiato la schedina prima dell’estrazione

i numeri estratti naturalmente la cosa cambia!). Pertanto la

la cosa cambia!). Pertanto la probabilità di ottenere un

n oppure 10-n è la stessa, e raddoppiare il

non ho affatto calcolato la probabilità esatta di ottenere

capitato se per esempio la pallina numero 20 avesse una

dei punti compatibili con la sconfitta. Ma quale può

Ma quale può essere la percentuale minima di vittoria

quattro, o ancora oltre? La risposta è la prima

oltre? La risposta è la prima. Avete tre possibilità

è messo male! ¶ Gira la carta ¶ Prendete da un

formate una fila orizzontale. La carta più a sinistra

in ordine inverso: se la successione iniziale fosse ad

proseguiamo fino a quando la carta più a sinistra

operazione ben poco… visibile. La domanda è però un

in cima alla fila? ¶ La risposta è affermativa. Presto

bravi nelle dimostrazioni matematiche). La prima considerazione da fare

quello di arrivo. Per la cronaca, il procedimento inverso

procedimento inverso non vale: la successione 495XK6287QA3J

è lungo 1, ossia che la successione inizia con un

è di lunghezza 1 allora la prima carta della successione

come richiesto dall’algoritmo, la carta k sarà nella

nascondere dietro le quinte la facilità dei conti e

per decidere chi fa la prima mossa in giochi

momento di fare entrare la matematica, e scoprire come

pareggiare ¶ 2.Ogni dado abbia la stessa possibilità di vincere

grande corsa al centro ¶ La matematica delle coalizioni è

a seconda di come la gente vota, che togliendo

certo senso, insomma, abbiamo la conferma matematica di quello

tutti hanno vinto. Ma la matematica elettorale dà qualche

dovrebbe essere chiaro che la maggioranza vince: eccovi la

la maggioranza vince: eccovi la spiegazione matematica del perché

e mantengono un duopolio – la spiaggia non sembra permettere

osservatore esterno direbbe che la posizione ottimale sia collocarsi

centro, pensa, manterrò tutta la mia clientela originale; se

non vuole farsi rubare la clientela in questo modo

questo modo, e fa la stessa cosa; anzi, raddoppia

questo balletto di spostamenti, la nuova soluzione di equilibrio

centro della spiaggia, con la stessa clientela iniziale; in

risultato, non è vero? La posizione raggiunta è di

decidono che non vale la pena fare tutta quella

partito che esplicitamente rifiuta la contrapposizione storica destra-sinistra

o croce. Supponiamo che la sua scelta sia caduta

testa, il giocatore rilancia la moneta. Anche stavolta se

avanti. Se capita per la prima volta croce al

i casi possibili, moltiplicare la probabilità di ciascun caso

di ciascun caso per la vincita ottenuta, e sommare

Abbiamo probabilità 1/2 di chiudere la partita al primo lancio

rublo; e via discorrendo. La somma di infiniti mezzi

infinita, quindi qualunque sia la somma che saremo disposti

riserva infinita di denaro! La crescita delle vincite è

lordo annuo di tutta la Terra corrisponde circa a

consecutive. È vero che la probabilità che ciò accada

risultare praticamente nulla; ma la parola praticamente in matematica

fosse 1 milione di rubli, la vincita media sarebbe di

di circa 11 rubli; se la vincita massima fosse 1 miliardo

sommetta, 20 milioni di euro – la vincita media salirebbe solo

moltissimi giocatori convinti che la martingala – la teoria secondo

convinti che la martingala – la teoria secondo cui partendo

rosso/nero e raddoppiando la puntata ogni volta che

sia sicuramente vincente perché la somma algebrica delle puntate

alla vincita quando finalmente la nostra combinazione esce. Peccato

nel caso della martingala la procedura funzioni solo se

roulette ¶ Come probabilmente sapete, la roulette (europea) è un

perdo i miei soldi. La vincita statistica del banco

Secondo voi, qual è la probabilità di uscire dal

Non ci crederete, ma la probabilità è maggiore del

inizio. Facendo i conti, la probabilità di non vincere

giusta alla domanda sbagliata… La domanda corretta sarebbe: “Con

media dal casinò?”, e la risposta a questa domanda

esempio ben più drammatico: la roulette russa. Abbiamo una

ruotiamo il caricatore, ce la puntiamo alla tempia e

gioco funziona così: se la pistola spara a vuoto

perché non dovreste provarci? ¶ La stessa cosa accade nel

dell’avversario, potete sfruttare la tecnica mnemonica sviluppata da

dobbiamo misurarci contro TTC la nostra scelta sarà CTT

o chi non ha la pelle bianca. In queste

per cento delle 4321 femmine. La differenza era troppo elevata

una banale fluttuazione statistica. La risposta dell’università? Mostrò

di discriminazione, e anzi la maggior parte dei dipartimenti

commentatori si chiesero se la recessione fosse peggiore di

dunque Bart ad avere la percentuale più alta di

Simpson – spunta di nuovo: la migliore riparatrice è Lisa

primo giorno e risultare la vincitrice finale. Tornando all

globale o quelli parziali? La risposta è “dipende”. Nell

il risultato finale, perché la suddivisione del lavoro nelle

ribattere che per combattere la discriminazione femminile bisogna convincere

tradizionalmente maschili. Infine, per la disoccupazione statunitense, ho il

che ciascun politico sceglierà la linea che gli fa

E poi dicono che la matematica non è un

non è un’opinione! ¶ La legge di Benford ¶ Avete

i 100.000 euro, e inviare la documentazione all’Agenzia delle

è sotto tutto questo? La legge di Benford. Il

non ha mai avuto la necessità di usare le

le tavole danno solo la parte decimale del logaritmo

parte decimale del logaritmo, la cosiddetta mantissa, dato che

cosiddetta mantissa, dato che la parte intera viene facilmente

una legge per stimare la distribuzione sulla prima cifra

in un contesto reale»: la legge di Benford era

di Benford era nata. ¶ La formula matematica della legge

usa i logaritmi: non la riporto per esteso e

modo apparentemente strano, ma la prima cifra dopo la

la prima cifra dopo la virgola dei logaritmi dei

Potete verificare da soli la legge: prendete tante statistiche

esempio perfetto per cui la legge di Benford è

delle cifre iniziali secondo la legge di Benford. ¶ Ma

di Benford. ¶ Ma insomma, la legge esiste o non

esiste o non esiste? La risposta chiara e definitiva

dati dev’essere quella: la ragione fondamentale è la

la ragione fondamentale è la cosiddetta invarianza di scala

una certa legge. Allora la stessa legge deve funzionare

ora inizieranno per 1; pertanto la probabilità di iniziare con

incontrovertibile e letale che la fissione dell’atomo su

esempio riuscì a stimare la potenza emessa nel primo

area urbana di Chicago. La cosa può apparire impossibile

più avanti perché), e la carta per stampanti pesa

cinque centimetri, e che la carta pesa più o

molto: certo che se la seconda stima fosse stata

quella che io definisco la regina delle scienze approssimate

pensare in maniera creativa. La spannometria ha però anche

tutto il ragionamento è la stima della lunghezza media

Semplice ed efficace, no? ¶ La grande corsa al centro

a priori: “Qual è la probabilità che succeda X

succeda X (aver contratto la malattia)?”. Con la probabilità

contratto la malattia)?”. Con la probabilità a posteriori raffiniamo

probabilità a posteriori raffiniamo la nostra stima iniziale aggiungendo

ulteriori fatti: “Qual è la probabilità che succeda X

calcolarla occorre anche conoscere la correlazione tra Y e

segue il secondo. Se la correlazione fosse perfetta, cioè

i conti sarebbero semplici: la probabilità di essere malati

realtà una certezza. Se la correlazione fosse nulla, cioè

perdere tempo a eseguirlo), la probabilità di malattia resta

fare i conti, usando la formula di Bayes, se

di Bayes, se ve la ricordate, oppure facendo come

del DNA, che calcola la compatibilità tra chi ha

si sono evoluti sotto la spinta di pressioni che

come sia necessario maneggiare la probabilità con cura. Un

vi sorprenderete. Un suggerimento? La parte che non è

sono invitati ad aprire la busta, che contiene un

intendano cambiare o no la propria busta con quella

strategia seguire? ¶ Supponiamo che la busta scelta da Alice

cento di aver preso la busta con l’assegno

a/2 euro. Ma ho la stessa probabilità di aver

probabilità di aver preso la busta con l’assegno

i due casi hanno la stessa probabilità, in media

vero che essi hanno la stessa probabilità. Un pignolo

che quello di arrotondare la cifra è un problema

dei ricercatori. E se la cosa non vi piace

cui non si sappia la somma massima elargibile? No

valori di denaro abbiano la stessa probabilità di essere

infinito di casi equiprobabili la loro probabilità deve essere

da fuori, sappiamo che la somma dei valori scritti

a (quindi non “raddoppierà la vincita”) mentre l’altro

a (quindi non “dimezzerà la vincita”). Visto che i

iniziare. Cominciate a lanciare la moneta e a scrivere

moneta e a scrivere la corrispondente successione di T

C; vince il giocatore la cui tripletta appare per

che scelga TTT, con la notazione qui sopra. Se

davvero fortunato, o se la moneta è davvero truccata

allora se avessimo scelto la combinazione CTT avremmo vinto

in fin dei conti la tripletta TTT è peculiare

invece no. Qualunque sia la tripletta scelta inizialmente dal

figura nella pagina seguente la freccia indica che la

la freccia indica che la prima tripletta è più

qui non è così. La cosa non è strana

vince sulla forbice, perché la spunta; la forbice vince

forbice, perché la spunta; la forbice vince sulla carta

vince sulla carta, perché la taglia; la carta vince

carta, perché la taglia; la carta vince sul sasso

un articolo del 1974 per la sua rubrica “Mathematical Games

di 1 millimetro. Avete notato la differenza tra la teoria

notato la differenza tra la teoria matematica (dove 1 è

è uguale a 1,000) e la pratica? Ecco: ricordatevelo, ora

misura l’angolo tra la retta e il cerchio

nonostante l’assonanza con la parola algoritmi non sono

posto molto improbabile come la Scozia da un personaggio

Se 103 = 1000, allora sappiamo che la radice cubica di 1000 è

inverse perché 103 non è la stessa cosa di 310. Ma

esponenti; bene, quella è la chiave di volta. ¶ Fino

i logaritmi avevano «raddoppiato la durata della vita degli

di leggere le iscrizioni? La risposta è semplice: saper

pubblico italiano ha sfondato la soglia dei 2000 miliardi di

che non abbiamo più la lira, perché saremmo a

quanto ammonta, per esempio, la quota di debito pubblico

milioni, cioè 6 per 10 alla 7; la quota si calcola dividendo

per differenze. Per esempio, la magnitudine delle stelle, vale

stelle, vale a dire la loro luminosità apparente, è

meno luminosa una magnitudine 5; la differenza tra due suoni

differenza tra due suoni la cui intensità è in

è pari a 10 decibel; la scala Richter è tarata

tarata in modo che la differenza di un grado

terremoti pari a circa 31,6, la radice quadrata di 1000. Insomma

casi portati come esempio la crescita non sia affatto

non sia affatto esponenziale! La cosa non è così

matematica e in fisica la funzione esponenziale è molto

sapevate per esempio che la curva formata dai fili

sospesi tra due pali, la catenaria, è la composizione

pali, la catenaria, è la composizione di due curve

il tipo più semplice: la crescita lineare. ¶ Si dice

ha crescita lineare se la differenza tra i valori

intervalli uguali è sempre la stessa. Immaginate di andare

a crescere linearmente è la velocità, e così dopo

e così via finché la vostra auto regge, avrete

cresce senza troppa fretta. ¶ La crescita esponenziale è invece

dalla funzione e non la loro differenza. E non

per riempire il vetrino? La risposta data da chi

lineare è “5 giorni”: raddoppiando la quantità iniziale si dimezza

altro punto di vista, la coltura ci mette 9 giorni

solo 1 giorno per riempire la seconda metà. Questa sì

bel po’ di tempo la crescita esponenziale è indistinguibile

di crescita. ¶ Ecco perché la speranza che il PIL

grafico della pagina precedente la parabola e la curva

precedente la parabola e la curva esponenziale sembrano abbastanza

su mille non ce la fa ¶ Un ignoto gruppo

probabilità che abbiate contratto la malattia, immaginate di sottoporre

più del 9 per cento. La percentuale è abbastanza alta

nel 1763, due anni dopo la morte di Bayes). In

di Bayes). In genere la prima stima che facciamo

più naturale dovrebbe essere la mediana, come nell’esempio

pratico dove si trova la mediana, o meglio una

è al di sopra. La misura è insomma relativa

salute del bambino. ¶ E la moda? Serve più che

tutti i numeri hanno la stessa probabilità di uscita

perdersi lì nel mezzo! ¶ La prova del nove ¶ Ve

dico subito: per me la prova del nove è

sono ancora maestri che la mostrano agli alunni, anche

alunni, anche se poi la accantonano subito) perché dà

Bene: finalmente potrete soddisfare la vostra pluridecennale curiosità. ¶ Un

ricapitolare come si fa la prova del nove. Quando

delle sue cifre; se la somma così ottenuta ha

parte; se invece è la stessa, forse (forse) siamo

precedente. Non garantisco che la posizione dei numeri nella

ho perso anche io! La prova del nove si

il dividendo. ¶ Fin qui la pratica. La teoria dice

Fin qui la pratica. La teoria dice che la

La teoria dice che la prova del nove è

orologio ma il telefonino. La prova del nove non

risultato è errato, se la differenza con quello corretto

Ma perché si fa la prova del nove e

per 7 oppure 15! Purtroppo però la semplicità di calcolare il

l’avrei anche: adottare la prova dell’undici. Calcolare

prova dell’undici per la stessa operazione. In questo

Lo stesso esempio con la prova dell’undici. ¶ Numeri

anche i razionali se la passano abbastanza bene: ma

odio nei loro confronti? La storia è più complicata

potevi disegnare. Purtroppo però la parola ratio significava anche

un po’ come per la parola sinistro che ha

sono duri a morire. ¶ La cosa più divertente è

alto dei cieli. Ma la storia più divertente è

di non aver cestinato la lettera, e di averla

dubbi che di solito la scuola elementare lascia irrisolti

no. D’altra parte la storia è lunga, più

gara di velocità con la tartaruga. Poiché quest’ultima

il punto in cui la tartaruga è partita, ma

un balzo arriva lì: la distanza complessiva percorsa è

ora 0,99 stadi. Intanto però la tartaruga si era ancora

in un lampo: ma la tartaruga si era ancora

superi prima o poi la tartaruga siamo tutti d

no. Peggio ancora, se la supera, deve prima raggiungerla

distanza di uno stadio? La risposta è sì, ma

esiste una (piccola) quantità, la distanza di Planck, al

modo diverso di vedere la cosa, prendete l’uguaglianza

di zero perché altrimenti la tangente non sarebbe più

che 1,000 non è esattamente la stessa cosa di 1. Nel

apparentemente inutili zeri dopo la virgola volesse indicare il

di aver eseguito effettivamente la misura, e fosse certo

degli italiani ritiene che la matematica sia “difficile”. Addirittura

cosa è indubbiamente vera: la matematica a livello universitario

eppure posso comunque azionare la mia macchina per il

non capita molto spesso la fortuna di trovare un

di far notare che la vita quotidiana è piena

in tanti, e onestamente la cosa inizia a stufare

su quanto è bella la matematica: io sono assolutamente

curiosi? ¶ Questo libro è la raccolta di tanti piccoli

estetico, e se anche la saltate a piè pari

o scrivere formule usando la palettina fornita dalla macchinetta

fornita dalla macchinetta e la schiuma del cappuccino? ¶ Nel

applicati alla realtà, e la vera sfida sia riuscire

e dargli in pasto la formula. ¶ Se però non

Senatore Cirenga che prevede la nascita del fondo per

del Senato, o diviso la somma stanziata per i

molto di più: se la prima non vi spaventerà

alcuni casi, come con la filastrocca «Il volume della

Una di queste è la regola dei segni, quella

In fin dei conti, la fobia continua ancora oggi

evitare di dire che la temperatura minima della notte

di –3 gradi si usa la perifrasi “tre gradi sotto

di osservare all’opera la regola dei segni, sfruttando

uguale più. Immaginiamo che la cosa stia andando avanti

si parla di soldi la matematica risulta subito più

democrazia è squisitamente statistico: la metà degli elettori ha

ha un’intelligenza sotto la media” controbatto immediatamente: “Non

media” controbatto immediatamente: “Non la media, ma la mediana

Non la media, ma la mediana!”. E no, non

no, non sto dicendo la stessa cosa usando un

Cosa succede ora? ¶ Scenario 1: la maestra è una fautrice

di caramelle che è la media del totale. ¶ Scenario

media del totale. ¶ Scenario 2: la maestra vuole spiegare le

più; continua a fare la stessa cosa con gli

questi bambini hanno è la mediana della distribuzione di

distribuzione di caramelle. ¶ Scenario 3: la maestra è una di

a un televoto. Divide la classe in gruppetti, in

di quel gruppo è la moda della distribuzione di

altri!”. Vero: in effetti la media può avere anche

conta davvero è che la media sta a significare

altra, e si definisce la mediana come valore di

conta davvero è che la mediana divide in due

bambini?”. Succede semplicemente che la distribuzione si chiama multimodale

distribuzione si chiama multimodale. La moda è l’unico

di essi, tipo che la media è minore della

loro. ¶ Una volta compresa la differenza tra media, mediana

presumibilmente mi interesserà è la media giornaliera di quello

ho fatto, perché è la misura più correlata alle

relativa a una popolazione, la misura più naturale dovrebbe

perfettamente simmetrico, e dunque la stessa cosa capiterà per

fatta qui sopra resta la stessa, e quindi vi

stradali abbiamo supposto che la distanza percorsa andando veloci

veloci e lenti sia la stessa, e quindi ci

il paradosso cade… e la legge di Murphy può

All’atto pratico, però, la maggior parte di noi

solo 721 milioni – e controllando la rete di amicizie hanno

per cento dei casi la media delle amicizie dei

più del triplo, per la precisione 635. Complotto? Dati fasulli

Dati fasulli? Come sempre la risposta è molto più

però a prima vista la cosa è sconcertante. Quale

sconcertante. Quale può essere la causa di una simile

utente qualunque, e dunque la percentuale percepita di uomini

per classe. Guardiamo però la cosa dal punto di

studenti: per 90 di loro la classe è formata da

però essere più chiaro: la differenza è tra uno

abituali che sono sempre là; gli studenti di una

intimi – e si calcola la media usando come riferimento

di più e distorce la media complessiva. Proviamo ora

relazioni di amicizia. Facendo la somma degli amici di

a testa. Vediamo ora la media degli “amici degli

amici, e infine facciamo la media. John ha 2 amici

amici, e 1 con 3 amici; la media di amici per

amici per amico è 7/3. La media complessiva, dunque, è

quello calcolato prima. Più la struttura delle amicizie è

è sparsa, maggiore risulterà la differenza tra il numero

di amicizie diventa 12, e la media scende a 2,4 amici

Facebook, ma se fate la stessa cosa con i

è numerato 1.) Cosa succedeva? ¶ La spiegazione è abbastanza semplice

sei è in pratica la precisazione matematica del fatto

ci sono più piani, la probabilità cambiava, e tendeva

di fare brutti incontri? La ragione è molto più

prosaica: dal momento che la maggior parte delle persone

Bisogna infine ricordare che la matematica può aiutare a

tempo di attesa, ma la psicologia può essere molto

parecchi: peccato che avessero la pessima abitudine di arrivare

banale affermazione secondo cui la statistica funziona solo in

opportuno, calcolando con precisione la distanza tra gli incroci

tutti i bus troverebbero la stessa successione di semafori

che un SUV tagli la strada, obbligando l’autista

al suo accodamento dietro la vettura precedente. A questo

accorti anche voi che la gente snobba quello dietro

statistica. Sempre nella pratica, la probabilità che si formi

accodi al primo… per la fortuna dei poveri passeggeri

successiva. Immaginate anche che la fermata sia su una

nel terzo 43 minuti, e la media è un quarto

Nel secondo caso, invece, la situazione è molto diversa

medio di attesa sarà la metà dell’intervallo, cioè

chi come me apprezza la musica d’antan che

in corso che restringono la carreggiata. È naturale che

anche quando inizia, se la strada rimane a una

della vaporizzazione degli ostacoli? La risposta, anche questa volta

nessun altro autoveicolo: insomma la strada è al massimo

di più tra loro: la distanza tra due macchine

decina di centimetri. Guardando la situazione dall’alto ci

onda d’urto, per la gioia di centinaia di

Il problema di superare la capacità di una strada

di nuovo il verde. La capacità della strada è

auto e non 20. Quando la coda raggiunge quel semaforo

tranne in Italia, dove la gente tende a fermarsi

così visto sperimentalmente come la capacità complessiva di una

di una strada sia la minima tra quelle dei

entrambi un’onda verde. La soluzione più semplice consiste

i semafori e calcolare la distanza per arrivare all

caso probabilmente quella verso la periferia. La situazione non

quella verso la periferia. La situazione non è ottimale

non è ottimale, ma la matematica può aiutare… non

indietro. Vi incamminate verso la terraferma, ma siete così

direzioni. Riuscirete a raggiungere la terraferma, farete un bagno

non vi sarà passata la sbornia? ¶ La marcia dell

sarà passata la sbornia? ¶ La marcia dell’ubriaco è

mentre quello verticale mostra la posizione in cui ci

è però quale sarà la distanza media dall’origine

passi. Perché non è la stessa cosa? Semplice. Pensiamo

di qua e di là. Come abbiamo detto, dopo

e noi vogliamo sapere la media del valore assoluto

di qua e di là. ¶ Ci viene in aiuto

Ci viene in aiuto la vera legge dei grandi

che dopo n lanci la distanza media dall’origine

origine c’è sempre la probabilità di tornarci e

passa a tre dimensioni la cosa cambia completamente: si

con sé il telefonino, la soluzione migliore per ritrovarsi

compagno non intenda seguire la stessa strategia. ¶ Sezione V

calendario da tavolo, per la gioia dei produttori di

il calendario e semplificarci la vita, possiamo sfruttare alcune

calendario gregoriano – in poi. ¶ La procedura si suddivide in

quattro e il 4 gennaio la quarta volta» (nell’anno

cioè 3), e infine aggiungete la costante magica 2. Il totale

volete semplificarvi un po’ la vita, soprattutto per le

Carta A4 ¶ A4, per la maggior parte delle persone

per esempio non esistono la A2 e la A

esistono la A2 e la A17 per ragioni storiche

Raccordo Anulare (che circonda la capitale) è numerato A

fogli di carta, invece, la situazione è del tutto

rapporto tra i lati la costante matematica φ (poco più

poco più di 1,6) e la cui bellezza è tanto

pollici), ma credo che la ragione sia permettere tanto

partendo da quell’idea la Repubblica di Weimar definì

a quanto pare importa la carta dall’ingombrante vicino

di metro quadro; e la grammatura dei fogli da

i C, che sono la media geometrica tra gli

righine da seguire per la piegatura. Ma in caso

prima di appallottolare per la rabbia il foglio, si

tra un angolo e la terza piegatura del lato

piegatura del lato opposto. La riga formata con quest

ho iniziato a bazzicare la rete, non si parlava

precedenza. Mi stupisce sempre la quantità di persone che

ora tutti questi file: la somma è 21000 – 1, cioè uno

è davvero riuscito, è la prova provata che quei

per un file multimediale la situazione è diversa. Si

caso! ¶ Crittografia perfettamente sicura ¶ La crittografia è un concetto

non se ne ruba la chiave di decifrazione. Forse

ne impedisce l’utilizzo? ¶ La storia inizia ben 2000 anni

via, immaginando che dopo la Z si ritorni alla

ai tempi di Cesare la sofisticazione non fosse eccezionale

di Vigenère, che introdusse la sostituzione polialfabetica. Si avevano