Maurizio Codogno, Matematica in pausa caffè, 2014

soprattutto che spieghi come si possano comprendere le idee

obiettare che se non si fanno conti non è

in maniera formale, ma si possono capire intuitivamente e

raccontare come aneddoti mentre si fanno due chiacchiere alla

chi matematico non è. Sì, a volte ci sono

poco nonostante quello che si sente dire: se poi

giro tratta esempi che si possono trovare quando ci

possono trovare quando ci si muove per strada e

sempre di Codice, che si è trovato impelagato nella

Nel primo caso non si usa una bacchetta, ma

pi greco erre tre», si accetta supinamente il testo

è sempre qualcuno che si lamenta: com’è possibile

insegnante ha fretta e si limita a ribattere: “È

è stata di –3 gradi si usa la perifrasi “tre

ci dovrebbero essere dubbi: si sa, quando si parla

dubbi: si sa, quando si parla di soldi la

contesto in cui ci si trova. ¶ Siamo a scuola

diverso di caramelle?”. Li si manda uno da una

altro dall’altra, e si definisce la mediana come

semplicemente che la distribuzione si chiama multimodale. La moda

animo del matematico, probabilmente si sarà chiesto: “Perché media

altro esempio pratico dove si trova la mediana, o

è utile ricapitolare come si fa la prova del

prova del nove. Quando si fa una moltiplicazione, per

I quattro numeri che si calcolano si mettono in

numeri che si calcolano si mettono in genere all

di una croce, come si vede nella pagina precedente

La prova del nove si può usare con addizioni

quoziente per il divisore si ottenga il dividendo. ¶ Fin

loro resto quando li si divide per 9: il “modulo

ma naturalmente non ci si può accorgere che il

del modulo. Ma perché si fa la prova del

è 1, il modulo nove si ottiene sommando le cifre

di calcolare il modulo 9 si scontra con un bel

destra verso sinistra; se si va sottozero, basta naturalmente

equazioni di terzo grado, si accorse di un piccolo

tre soluzioni. Fortunatamente, se si faceva finta di nulla

finta di nulla e si continuava a fare i

numeri inesistenti alla fine si cancellavano l’uno con

con l’altro e si arrivava alla soluzione corretta

risultato era ok, allora si poteva immaginare che quei

di due secoli che si è trovato un modo

è affatto difficile (moltiplicarli sì, ma quando mai capita

io possa vedere, non si ha alcun pericolo per

uno di quelli che si divertivano a fare domande

il piè veloce Achille si impegna in una gara

stadio. I due concorrenti si portano ai blocchi di

Intanto però la tartaruga si era ancora mossa, facendo

lampo: ma la tartaruga si era ancora spostata… ¶ Ora

stadio? La risposta è sì, ma semplicemente per convenzione

i numeri reali. ¶ Se si “tagliano” i numeri, mettendo

Nel primo caso, infatti, si può sperare che chi

mio girovita misura 1 metro si può immaginare che io

po’ sovrappeso, tuttavia nessuno si stupirebbe se fosse 99,7 centimetri

strumento se non quando si tratta di piantare un

esempio lampante. Nelle scuole si continuano a studiare i

potenze di un numero si ottiene elevando quel numero

una gran cosa, e si preferiva misurare in mesi

milioni e i miliardi si sprecano. Quando ci dicono

Tuttavia una volta che si sia imparato a muoversi

per 10 alla 7; la quota si calcola dividendo 2 per 6 e

di avere differenze costanti, si hanno rapporti costanti; invece

costanti; invece di dividere si sottrae. ¶ Un’ultima cosa

semplice: la crescita lineare. ¶ Si dice che una funzione

loro differenza. E non si tratta di una piccola

abbastanza noto in cui si suppone che una coltura

in un successivo esperimento si parte con 2 amebe anziché

raddoppiando la quantità iniziale si dimezza il tempo. Ma

basta pensare che se si fosse cominciato il nuovo

la seconda metà. Questa sì che è una bella

su ognuna di esse si trova 1 verso di un

per ciascuna delle strisce si possa comporre un sonetto

caso, con ogni probabilità si otterrà una poesia che

le tre volte che si otterrebbero con una crescita

vogliono dire è che si sta parlando di qualcosa

dei malati, quindi ci si è ammalati in un

A questo punto che si fa? ¶ Alcuni studi antropologici

che gli esseri umani si sono evoluti sotto la

a vedere quando ci si trova in una situazione

lasciata al sole, però, si è un po’ essiccata

che gli assegni abbiano sì una coppia di valori

caso in cui non si sappia la somma massima

a questo punto non si sa a partire da

assegno più grande. ¶ Come si risolve il paradosso? Boh

di fila una moneta, si possono ottenere otto risultati

forte della seconda, e si può così vedere che

in un gioco dove si sa già in anticipo

gioco con le monete si chiama gioco di Penney

suddivisi per dipartimento. Guardandoli, si poteva notare che se

cento, e molti commentatori si chiesero se la recessione

no perché a fine 1982 si era arrivati al 10,8 per

universitaria, diplomati, non diplomati) si scopriva che per ciascuna

di una situazione che si verifica piuttosto di frequente

al caso di Berkeley, si potrebbe immaginare che il

Il primo giorno Lisa si cimenta con 3 computer senza

recuperare il divario – quello sì anche in valore assoluto

insomma? Forse in Italia sì, ma negli Stati Uniti

guida. In secondo luogo si tratta più che altro

un momento di inattività si accorse di qualcosa di

di 42, di 42.000 e di 0,0042 si cerca lo stesso elemento

prima che qualcun altro si mettesse a rimuginare su

grafico a torta dove si vedono le percentuali corrispondenti

ventesimo secolo, e lo si può affermare senza alcuna

sciovinismo. In genere lo si associa alla progettazione e

alcuni colleghi. Il discorso si era spostato su un

UFO ed egli commentò: «Sì, ma dove sarebbero tutti

ma senza grandi risultati. Si possono dare tante risposte

con colleghi e amici: si dice che Fermi eccellesse

di più. ¶ E se si ignorano quelle curiosità? Nessun

quelle curiosità? Nessun problema, si cerca un’altra strada

altra strada. Magari ci si ricorda che le dimensioni

quintale o 100 tonnellate allora sì che ci sarebbe stato

fine; in questo modo si dividono equamente il mercato

al 650 della spiaggia, chi si trova tra il metro

centro-centrosinistra. Non solo si riprende i suoi vecchi

di misurare i metri si contano i bagnanti e

gelatai storici. ¶ Infine, come si potrebbe modificare il modello

uno? Facciamo finta di sì… – e scoprire una saletta

croupier presenta con un “si vince sempre”. Il gioco

mentre se esce testa si va avanti. Se capita

croce al terzo lancio si vincono 4 rubli; al quarto

diceva il croupier, dunque, si vince sempre. Quanto ritenete

più o meno quanto si vincerebbe se uscisse testa

puntata ogni volta che si perde – sia sicuramente vincente

il 23,72 per cento. Sommandole si arriva al 45,77 per cento

siete entrati. Peccato che si tratti della risposta giusta

intuitivamente. È vero che si vince più spesso di

più spesso di quanto si perde, ma nella maggior

maggior parte dei casi si vince molto poco, e

metri. Alla fine ci si scopre più in basso

basso di prima, nonostante si stesse “quasi sempre” salendo

la risposta che probabilmente si sentirebbe dare è “Mi

molto più probabile che si vada a prendere un

Nei Gratta e vinci si gioca contro lo Stato

Win for Life, dove si estraggono 10 numeri tra 1 e

scelti a sua volta 10, si è in competizione con

Morale della storia: quando si gioca non è importante

diviso in altre categorie: si vince qualcosa anche se

vince qualcosa anche se si indovinano 9, 8 e 7 numeri, sebbene

in quest’ultimo caso si ottengano giusto pochi euro

naturalmente non è che si guadagni di meno indovinando

indovinando meno numeri perché si è stati meno bravi

massimo 3. La vincita che si ottiene facendo zero è

è la stessa che si sarebbe ottenuta con 10; allo

è molto semplice, se si sa da dove partire

sa da dove partire. (Sì, avete ragione: il punto

pallavolo, in realtà non si gioca una singola partita

nel tennis un gioco si vince con almeno 4 punti

punti a due (da 40-30 si fa il punto decisivo

notare come più punti si giocano più il rapporto

finito 7-5). Nel primo caso si può arrivare a vincere

avversario; nel secondo caso si arriva a 31 punti contro

negli altri tornei – sul 5-5 si va avanti a oltranza

di modi in cui si possono disporre n elementi

elementi è finito, e si può scoprire facendo il

scontate, nel senso che si continuerà a vedere lo

configurazioni. Ricordate che non si mischiano le carte ma

le carte ma ci si limita a girarle in

non è detto che si possa risalire alla strada

a un ciclo, non si sa quanto lungo. Noi

siamo sicuri che non si schioderà più da lì

nell’ordine in cui si trovano. ¶ Bene: abbiamo detto

carte prima o poi si giungerà a un ciclo

non è possibile che si arrivi a un ciclo

un dado? Per esempio, si può far lanciare il

così va bene perché si nega all’altro il

non è molto interessante: si vince sempre. Se ci

essere numerati da 1 a 12: si potrebbero per esempio usare

valori {1, 1, 1, 4, 6, 6} e {2, 2, 2, 3, 5, 5}. Sicuramente non si possono usare due dadi

i valori {0,5, 1,5, 2,5, 4,5, 5,5, 6,5} se non si ha paura dei decimali

da 1 a 18. Come distribuirli? Si può partire come per

quattro, sei facce non si riescono a dividere in

qualunque posizione relativa: li si può dunque usare non

n’è, e quindi si possono tranquillamente virare al

più che di storie si parla di problemi. Eccovi

il candidato migliore: o si dà l’ok subito

mezza cartuccia solo perché si sono rifiutati tutti gli

sia stato detto come si chiamano le permutazioni di

che, almeno in italiano, si parla di dismutazioni, mentre

Come per il fattoriale si usa un punto esclamativo

superiore (se non lo si trova, evidentemente l’ultimo

è un valore casuale. Si tratta infatti del rapporto

infatti perfettamente nel caso si debba scegliere tra un

limite superiore. Ma se si trova un candidato da

alla fine la situazione si è stabilizzata, e i

stabilizzata, e i paperopolesi si dividono esattamente a metà

colleghi: in soli 5 minuti si potrà andare da una

queste interazioni. In genere si studiano modelli molto semplificati

po’ insomma come quando si dice che uno ammazzerebbe

che in questo caso si direbbe che siano semplicemente

davanti a noi qualcuno si lamenterà di qualche prezzo

casi come questo non si può fare altro che

a due corsie. Non si tratta in effetti di

per metà del percorso si viaggia a 10 all’ora

per l’altra metà si viaggia a 30 all’ora

cambi corsia. So che si tratta di un’ipotesi

minuti, come sarebbe se si andasse per tutto il

quelli a 30 all’ora si percorreranno in 2 minuti, con

dell’altra corsia. Ma si possono avere risultati ancora

negli Stati Uniti non si danno solo al proprio

fidanzato o fidanzata, ma si scambiano anche tra amici

mai considerato, e nessuno si stupisce nel vedere che

Di amici ne abbiamo, sì, ma i nostri amici

per pochi intimi – e si calcola la media usando

degli amici di ciascuno, si arriva a 2+3+3+2 = 10 amicizie (ogni

degli amici”. Lo scioglilingua si traduce in questo modo

raccontano che nell’estate 1956 si trovavano entrambi nel palazzo

ufficio dell’altro, ma si era accorto che in

Dalle tue osservazioni empiriche si può però dimostrare che

ascensore molto lento che si ferma ad ogni piano

piano all’altro. Se si trova alle 10 a terra

terminerà il ciclo e si troverà di nuovo al

fermarsi al pianterreno. Non si sa mai: un gruppetto

per scendere. E così si ottimizza l’attesa media

del piano in cui si trovano solo al pianterreno

loro arrivo e non si lamentarono più della loro

che gli autobus spesso si sentono soli, né il

ritardo e più gente si raccoglie alle fermate in

punto i due bus si comportano come uno solo

snobba quello dietro e si accalca per salire su

pratica, la probabilità che si formi un convoglio cresce

che il secondo mezzo si accodi al primo… per

tempi di attesa, che si manifesta proprio quando si

si manifesta proprio quando si ha un convoglio di

ogni 15 minuti ma dove si formano triplette: in pratica

volte, Isoradio o no, si passano alcuni quarti d

quarti d’ora viaggiando – si fa per dire – a

prendere velocità senza che si vedano un incidente o

sola corsia…), il traffico si fluidifichi. Ma quando non

risposta, anche questa volta, si ricava per mezzo della

più semplice di quanto si possa pensare a prima

tra due macchine non si potrebbe inserire in sicurezza

distanza tra due macchine si ridurrà a qualche decina

autoveicoli – viaggiando più lentamente si può stare più vicini

stare più vicini – che si sposta all’indietro rispetto

accelerare, e l’onda si dissolverà: ma poiché occorre

prima che un automobilista si accorga di avere via

che il traffico improvvisamente si sia ridotto. Un corollario

delle onde d’urto si ha in tangenziale, quando

passare 20 auto, e poi si deve aspettare un altro

un flusso costante, qualcuna si troverà il rosso, ma

è verde, perché non si può proseguire (tranne in

città costruita ex novo si potrebbe far sì che

novo si potrebbe far sì che gli incroci principali

ciclo di verde, ma si può fare di meglio

posizione in cui ci si trova nei vari istanti

equa in media non si vince né si perde

non si vince né si perde niente. ¶ Una domanda

finiti lì vicino, qualcuno si sarà allontanato parecchio, e

Come prima cosa, se si ha sufficiente tempo a

sufficiente tempo a disposizione si raggiungeranno tutti i valori

valori interi; anzi, lo si farà un numero infinito

a proposito di casinò, si può dimostrare che anche

perfettamente equo, se ci si giocasse abbastanza a lungo

giocasse abbastanza a lungo si finirebbe quasi certamente al

il capitale iniziale che si ha è molto inferiore

iniziale. ¶ Cosa succede quando si passa a più dimensioni

che gli spostamenti che si fanno siano solo ortogonali

oltre ad avanti/indietro si possa fare sinistra/destra

rimanendo cioè sul piano, si è ancora certi – nel

di partenza. Se però si passa a tre dimensioni

la cosa cambia completamente: si tornerà all’origine circa

strano che E.T. si fosse perso nello spazio

perso nello spazio, se si era effettivamente spostato a

ha un problema: non si sa mai quale sia

in poi. ¶ La procedura si suddivide in tre fasi

l’anno in corso si può procedere tranquillamente a

gli usi pratici ci si può fermare qui. Se

fermare qui. Se però si vuole calcolare il Doomsday

è nato, le cose si complicano un pochino, e

in Inghilterra al tempo si usava ancora il calendario

il rettangolo aureo lo si vede quasi sempre in

piegandolo a metà, infatti, si ottengono due mezzi fogli

a mano a mano si diffuse. L’Italia per

la rabbia il foglio, si può usare il metodo

nel disegno qui sopra. Si divide il lato corto

in quattro parti, e si piega il foglio tra

con quest’ultima piegatura si incontra con le prime

bazzicare la rete, non si parlava molto di compressione

file: più che altro si cercava di usare il

anni lo sviluppo teorico si fermò, e dopo gli

Dopo questa delusione, ci si può chiedere come mai

al digitale terrestre televisivo si sono potuti infilare otto

è il trucco? Semplice: si usano tecniche di compressione

la situazione è diversa. Si dice che i maschi

riconoscano solo sedici colori: si tratta di una battuta

sfumature di grigio le si vedano solo nel titolo

fattore di compressione, altrimenti si rischiano falsi colori o

e allo stesso modo si possono fare transazioni crittograficamente

ha implementate. Tuttavia quando si legge in giro di

un cracker – magari ci si chiede come mai nessuno

il Cifrario di Cesare. Si narra che il condottiero

che dopo la Z si ritorni alla A. Con

come ben sa chi si diverte a risolvere le

vero salto di qualità si ebbe nel 1586 con il

introdusse la sostituzione polialfabetica. Si avevano 26 cifrari diversi, ciascuno

una lettera dell’alfabeto. Si prendeva poi una parola

per esempio CHIAVE, e si cominciava a crittografare il

via. Terminata la chiave si ricominciava con la prima

testo originario. In italiano si sa che le vocali

con analisi più sofisticate si può facilmente arrivare a

presentata tre decenni prima – si pensò allora di usare

frequenza; la seconda fa sì che ogni possibile testo

Ecco perché su internet si usano i sistemi a

che con il vinile si udivano suoni che nel

che nel CD non si mettono solo i valori

essercene bisogno. In precedenza si studiava come stimare il

massimo errore che ci si poteva attendere, cosa necessaria

un orecchio davvero fine si accorge che il cantante

po’ stonato, mentre se si scambia uno 0 con un

succede. ¶ Che fare allora? Si aggiungono altri valori (che

conto che i graffi si concentrano in una posizione

metodi di scrittura, come si intuisce dal suffisso -grafia

e con il termine si intende l’arte di

comunque troppo. D’altronde si sa che ogni tanto

quelli del secondo tipo si poteva scoprire il vero

collocarle. Ciascuno degli utilizzatori si inventava insomma un sistema

base per il testo si è usato di tutto

messaggio reale. In pratica, si parte da un’immagine

parte da un’immagine, si prendono i bit meno

le sfumature – e li si sostituisce con altri bit

cosa c’è scritto, si insospettisce; se non lo

anche di che cosa si tratta: usare la potenza

attentamente il campione e si rischia di perdere informazioni

tutta la popolazione, non si butta via nulla. Tra

Data è che non si cercano rapporti di causa

sono plausibili e non si vede perché il caso

cui i Big Data si basano, cioè che i

tecniche statistiche. Quindi non si deve fare altro che

sguardo più attento ci si accorge che è rovinosa

a grandi linee – fa sì che le ricerche siano

il rapporto preda-predatore, si è scoperto che passando

con cinque specie distinte si giunge rapidamente al caos

aspettare un genio che si inventi una metodologia completamente

romanzi del “buon dottore”, si ebbe con l’arrivo

più completa di come si sia arrivati a definire

definire i numeri reali si trova all’indirizzo http

numero di monete qualunque, si può trovare a http

più completa del paradosso si trova nella pagina in

di Fermi (in inglese) si trova all’indirizzo http

di Win for Life si trovano all’indirizzo http

comprare i dadi equi, si può partire dall’articolo

alle tangenziali ¶ Su Wikipedia si trovano esempi reali di

esempio meccanico in cui si vede il paradosso all

paradosso delle due corsie si può leggere in un

ascensori dallo strano comportamento si trovano nel libro di

Bari 2003). ¶ Stop-and-go ¶ Si parla di code nel

completa del blocco monouso si trova su Wikipedia, all

Il teorema del campionamento si può trovare all’indirizzo

del teorema del campionamento si può leggere nel blog

Data ¶ Google Flu Trends si trova all’indirizzo http