44. Misure a senso

Scopo

Misurare la lunghezza di un listello di legno, senza l’aiuto di alcuno strumento, dopo aver definito una appropriata unità di misura.

Premessa

Abbiamo svolto questo esperimento per verificare se è possibile ottenere una misura attendibile della lunghezza di un listello di legno senza usare uno strumento di misura ma semplicemente tentando di valutare a vista questa grandezza fisica.

Materiale impiegato

Un listello di legno, uno spezzone di matita.

Descrizione dell’esperimento

Prima di tutto abbiamo definito lo spezzone di matita come nuova unità di misura della lunghezza, in sostituzione del metro. Per comodità abbiamo assegnato anche un nome alla nuova unità di misura, e l’abbiamo chiamata così. Queste operazioni sono state legittime perché ogni unità di misura è arbitraria.

Dopo la definizione della nuova unità di misura, un grande numero di studenti, anche di altre classi, è stato invitato ad esprimere la lunghezza del listello di legno in così. A turno, infatti, ogni studente veniva messo di fronte al listello e doveva cercare di misurare, senza avvicinarsi, il numero di così contenuti in esso. Questo numero doveva essere intero.

Quando lo studente esprimeva il valore esso veniva registrato senza commenti dell’insegnante che lo scriveva su un foglio.

Raccolta dei dati

In tutto sono state eseguite 202 misurazioni che sono contenute nella seguente tabella.

Questa tabella, però, non riporta tutti i valori registrati, bensì le occorrenze o, ovvero il numero di volte che ogni diverso valore x è stato registrato.

Elaborazione dei dati

Come era prevedibile, i risultati di queste misurazioni, eseguite in modo grossolano, sono molto differenti fra di loro. La misure ottenute, infatti, vanno da un minimo di 8 così fino a un massimo di 30 così. Per valutare più agevolmente questi risultati, perciò, è stato realizzato un istogramma della distribuzione dei risultati ottenuti che è raffigurato nel seguente grafico.

Osservando l’istogramma si nota con molta chiarezza che i risultati delle misure, anche se sono molto diversi fra di loro, non sono distribuiti in maniera uniforme. Esiste infatti un piccolo numero di risultati (valori 13, 14 e 15) che sono stati ottenuti un grande numero di volte (rispettivamente 39, 41 e 36 volte). Tutti gli altri risultati, invece, appaiono molto meno frequenti quanto più si allontanano dai valori appena detti.

Nel complesso, l’istogramma si presenta come una piramide che ha per vertice il valore di 14 così (valore più frequente). Tale valore potrebbe essere preso come risultato finale della misurazione.

Prima di fare questo, però, è stata calcolata anche la media aritmetica μ di tutte le misure ottenute per mezzo della seguente formula:

dove k è il numero di valori distinti (nel nostro caso 30), x_n e il valore ottenuto volta per volta, o_n rappresenta la corrispondente occorrenza ed N il numero totale delle misure.

Il valore della media aritmetica è risultato 13,85 così. Esso è stato approssimato all’unità (14 così) e chiamato valore medio, poiché non avevamo preso in considerazione la possibilità di usare sottomultipli dell’unità di misura. Abbiamo notato che il valore medio e il valore più frequente delle misure coincidono. Questa è una buona ragione per scegliere questo valore come risultato finale della misura.

Risultato

Possiamo affermare con sufficiente certezza che il listello è lungo 14 così (unità di misura appositamente definita), cioè il valore medio di tutte le 202 misurazioni eseguite e anche il valore più frequente.

Osservazioni

Dopo aver eseguito tutte le misurazioni a vista abbiamo eseguito una misura finale del listello. Questa volta, però, abbiamo confrontato da vicino l’unità di misura, riportandola ripetutamente sul listello, per ottenere un risultato più preciso.

Con una certa sorpresa abbiamo notato che il valore ottenuto è stato 13 così, valore che si discosta di una sola unità da quello ottenuto elaborando i risultati della misura grossolana. La raccolta di un gran numero di misure, perciò, ci aveva comunque permesso di ottenere un valore attendibile, anche se avevamo adottato un metodo di misurazione molto impreciso.

La coincidenza del valore medio con il valore più frequente ci è sembrata molto importante. Naturalmente, questa coincidenza si verifica quando il numero delle misure è abbastanza alto (nel nostro caso 202 misure), ma non sempre è possibile realizzare tante misure. In questo caso, perciò, il valore medio – fra tutti quelli ottenuti – va considerato quello più attendibile, cioè quello che più di ogni altro si avvicina al valore ricercato.