45. Carambola gassosa
Scopo
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Premessa
In questo esperimento abbiamo simulato con il computer il comportamento di un gas immaginandolo – in accordo con la teoria cinetica – come un insieme di particelle rigide ed elastiche libere di muoversi all’interno di un recipiente indeformabile.
Abbiamo riscritto l’equazione di stato dei gas perfetti o ideali sostituendo le grandezze macroscopiche, come la pressione e la temperatura, con grandezze che possono essere impiegate in un modello da simulare con il computer. Tali grandezze sono le dimensioni del recipiente che contiene le particelle in movimento, la velocità delle particelle, il numero di urti che esse realizzano con le pareti del recipiente e così via.
In generale si considera per comodità che il gas sia contenuto in un recipiente di forma cubica; però si può considerare anche il caso che il fenomeno si sviluppi solo in due dimensioni; in questo caso, il recipiente può essere equiparato a un quadrato dove le particelle si muovono (senza attrito) come fanno le bocce sul tavolo da biliardo.
Dal punto di vista fisico le due ipotesi sono equivalenti, anche se la seconda è poco realistica per un gas; essa ha il pregio, tuttavia, di essere più rappresentabile sullo schermo del computer, e dunque è quest’ultima che è stata considerata nel seguito di questo discorso.
L’equazione di partenza, dunque, è la nota equazione di stato dei gas ideali nella formulazione tradizionale:
dove p è la pressione del gas, V è il volume del recipiente che lo contiene, n è il numero di moli di cui esso è costituito, T è la sua temperatura assoluta ed R è la costante universale dei gas (8,31 J/mol·K).
Questa equazione può essere riscritta, come si vedrà in dettaglio nel seguito, come:
ovvero impiegando soltanto grandezze meccaniche. Infatti U è il numero degli urti delle particelle contro le pareti del recipiente, L è il lato del recipiente, Δt è la durata del fenomeno, N è il numero delle particelle e v è la loro velocità quadratica media.
Come si può notare, in seguito a questa trasformazione, la costante assume il valore di un numero senza dimensione.
Materiale impiegato
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Descrizione dell'esperimento
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Raccolta dei dati
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Elaborazione dei dati
Prima di elaborare numericamente dei dati occorre giustificare la trasformazione simbolica della [1] nella [2].
sostituzione della pressione. Osserviamo che la pressione del gas, a livello microscopico, può essere ricondotta alla quantità di urti che le singole particelle che compongono il gas realizzano contro le pareti del recipiente nell’unità di tempo.
Bisogna tenere presente, però, che raramente le particelle urtano il recipiente in modo perpendicolare alla sua superficie, vale a dire con un angolo di 90°. Rispetto a quest’ultima, infatti, l’angolo d’urto può variare con continuità da 0° a 180°. Se perciò si può ammettere – per l’assenza di attrito – che il modulo del vettore velocità v associato ad una particella è costante, bisogna tenere conto del fatto che le sue componenti vx e vy variano continuamente a seconda di come varia l’angolo d’urto della particella con la superficie del recipiente.
La componente di v parallela alla superficie d’urto non ha alcuna importanza sugli effetti dell’urto, che dipende unicamente da quella perpendicolare. Se si considera che in un determinato urto questa componente sia v si può dire che la variazione di quantità di moto Δq subita dalla particella che urta contro il recipiente vale:
dove m rappresenta la massa della particella e v la componente utile della velocità. Tale componente, però, è diversa in ogni urto, dal momento essa che dipende dall’angolo d’urto, il quale può variare, come già detto, da 0° a 180°.
Si può determinare un valore medio vm di questa componente calcolando la media integrale di tutti i possibili valori che la componente può assumere rispetto al valore massimo v.
Integrando si ottiene:
La [3], pertanto, va ritoccata di un fattore pari a 2/π, ottenendo così:
Ricordando che la seconda legge della dinamica può essere espressa come:
si possono fondere la [6] e la [7] nell’unica relazione:
dove F rappresenta la forza media esercitata sulle pareti del recipiente dalla quantità di urti U che le diverse particelle che compongono il gas producono sulla superficie del recipiente nell’unità di tempo.
Ricordando la definizione di pressione:
dove F è la componente ortogonale della forza esercitata sulla superficie A, si può ridefinire la grandezza macroscopica pressione in base alle correlate grandezze microscopiche massa, velocità e quantità di urti nell’unità di tempo contenute nella [8].
In generale, il valore di A è pari alla superficie del recipiente che contiene il gas; nel caso esso abbia la forma di un cubo tale superficie è pari a:
dove L rappresenta il lato del cubo. Dal momento però che è stato scelto di semplificare il modello tridimensionale in due dimensioni, occorre considerare il fatto che alla superficie del recipiente cubico va sostituito, per coerenza, il perimetro del quadrato il cui valore risulta:
In conclusione, perciò, per la [8] e per la [11], la pressione risulta:
sostituzione del volume. Il volume del recipiente, volendo sempre considerare la semplificazione del modello tridimensionale a bidimensionale, è pari a:
sostituzione del numero di moli. Il numero di moli n presente nell’equazione che contiene le grandezze macroscopica è definito come il rapporto fra il numero di particelle N che costituiscono il gas e il numero di Avogadro N0.
sostituzione della costante universale dei gas. La costante R, come è noto, entra nella relazione fondamentale che la lega al numero di Avogadro N0 e alla costante di Boltzmann k:
per cui:
sostituzione della temperatura assoluta. L’energia cinetica E associata al moto della particella, come è noto, risulta:
dove k è la già nominata costante di Boltzmann e T rappresenta la temperatura assoluta del gas.
Sostituendo al valore dell’energia cinetica l’appropriata formula derivata dalla meccanica che descrive l’energia associata ad ogni particella di massa m e velocità v, si ottiene:
da cui:
A questo punto l’equazione [1] può essere riscritta sostituendo opportunamente la [12], la [13], la [14], la [16] e la [19] e ottenendo così l’equazione:
dalla quale, semplificando, si ricava infine la [2] come era stato anticipato.
Risultato
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